ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВНИЯ

«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ФУНДАМЕНТАЛЬОЙ ПОДГОТОВКИ

Ю.А. ТЕРЕЩЕНКО, В. А. ИГНАТОВА

Дифференциальное исчисление

Учебное пособие

к практическим занятиям

Красноярск 2008

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 4

ФУНКЦИЯ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ 5

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВЕЛИЧИН 16

Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация 27

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ. НАХОЖДЕНИЕ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ 31

ПРОИЗВОДНАЯ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ ОДНОй И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 43

Дифференциал функции одной и нескольких переменных, применение дифференциалов в приближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков 50

Правило Лопиталя 61

Общая схема исследования функции и построение графика 65

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 74

Введение

Математический анализ – большая область математики, связанная с понятием функции, производной и интеграла. Аппарат математического анализа используется в других областях математики, таких как дифференциальные уравнения, функции комплексного переменного, дифференциальная геометрия, вариационное исчисление и т.д. Таким образом, математический анализ – один из курсов, составляющий фундамент математического образования инженера любого профиля.

Один из основных разделов математического анализа – дифференциальное исчисление, центральным понятием которого является понятие производной. Производная широко применяется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости различных процессов. Основные теоремы дифференциального исчисления позволяют построить мощный аппарат для исследования поведения функции.

В данном учебном пособии сначала рассматриваются практические занятия по темам, с которых традиционно начинают знакомство с математическим анализом, а именно: понятие функции, способы ее задания и свойства, предел функции, раскрытие неопределенностей, непрерывность функции, точки разрыва. Далее в пособии представлены практические занятия по разделу «Дифференциальное исчисление», в которых раскрываются понятия и геометрический смысл производной функции одной переменной и частных производных функции двух переменных, проиллюстрированы правила дифференцирования основных элементарных функций, способы нахождения производных функций, заданных различными способами; подробно описаны методы исследования поведения функции одной переменной, в частности алгоритмы нахождения точек экстремума, точек перегиба, асимптот.

В начале каждой темы кратко излагаются основные теоретические сведения (определения, теоремы, формулы), необходимые для решения последующих задач. Затем приводится достаточно большое количество примеров с подробными решениями, даются задачи и упражнения для самостоятельной работы. При подборе задач и примеров были использованы различные сборники задач по высшей математике, представленные в библиографическом списке.

Более подробно с теоретическим материалом по всем темам практических занятий можно познакомиться в конспекте лекций по разделу «Дифференциальное исчисление» тех же авторов, поскольку конспект лекций и учебное пособие для практических занятий по этому разделу образуют единый учебно – методический комплекс.

Данное учебное пособие может быть использовано как под руководством преподавателя на занятии, так и для самостоятельного изучения материала.

1. Практическое занятие по теме:

ФУНКЦИЯ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ

Пусть даны и – переменные величины, и – области изменения этих величин.

Определение. Если каждому значению величины по некоторому закону соответствует единственное значение величины , то говорят, что задана функция , или что величины и связаны между собой функциональной зависимостью. При этом, – аргумент функции (независимая переменная), – значение функции (зависимая переменная), – закон соответствия, – функция одной независимой переменной.

Множество называется областью определения функции и обозначается . Множество называется областью значений функции и обозначается .

Для функции одной переменной областью определения является интервал координатной оси или вся координатная ось.

Определение. Если областью существования функции служит множество натуральных чисел , то функцию называют последовательностью и обозначают , , и т. д.

Пусть даны и – переменные величины, – область изменения пар чисел , а – область изменения .

Определение. Если каждой паре чисел по некоторому закону соответствует единственное значение величины , то говорят, что задана функция . При этом – аргументы функции (независимые переменные), – значение функции (зависимая переменная), – закон соответствия, – функция двух независимых переменных, – область определения функции, – область значений функции.

Для функции двух переменных область определения является часть координатной плоскости или вся координатная плоскость.

Определение. Если каждой совокупности переменных величин по некоторому закону соответствует единственное значение , то говорят, что задана функция – функция независимых переменных.

Для функции трех переменных область определения функции геометрически представляется в виде части трехмерного пространства.

Для функции переменных, при , область определения невозможно представить геометрически.

Наиболее распространены следующие способы задания функции: аналитический, графический и табличный. Подробно рассмотрим аналитический способ задания, который состоит в том, что дается формула, с помощью которой по значениям независимой переменной (независимых переменных) можно получить соответствующие им значения функции.

Функция, заданная аналитическим способом может быть задана: явно, неявно и параметрически.

Функция называется явно заданной, если она задана уравнением , разрешенным относительно зависимой переменной (зависимой переменной ).

Функция называется неявно заданной, если она задана уравнением – для функции одной переменной ( – для функции двух переменных), не разрешенным относительно зависимой переменной (зависимой переменной ).

Аналогично определяется неявно заданная функция независимых переменных вида , где .

Функция называется параметрически заданной, если сама функция и её аргумент (аргументы) заданы аналитическими выражениями, зависящими от одного и того же параметра :

– функция одной переменной; – функция двух переменных.

Пример 1. Найти и изобразить графически область определения функций.

а) .

Решение. Функция имеет смысл, если

Найдем решение каждого неравенства в отдельности:

1) . Решим неравенство методом интервалов.

:

т .е. .

2) , .

3) , .

Нанесем все полученные интервалы на ось . Их пересечение – и есть решение системы неравенств.

Т аким образом

Ответ.

б) .

Решение. . Значит, областью определения является часть плоскости , координаты точек которой, удовлетворяют неравенству , т.е. часть плоскости , расположенная внутри параболы . Так как точки параболы не удовлетворяют неравенству, то она изображается пунктирной линией (см. рис.1.1).