- •Дифференциальное исчисление
- •Содержание
- •Введение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •Теоремы о пределах (правила предельного перехода)
- •Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых величин
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Свойства эквивалентных бесконечно малых функций
- •Важнейшие эквивалентности
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3. Практическое занятие по теме: Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4. Практическое занятие по теме: вычисление производной функции одной переменной. Таблица производных. Нахождение частных производных. Производная сложной функции
- •Правила дифференцирования результатов арифметических действий над функциями
- •Геометрический смысл производной функции одной переменной
- •Геометрический смысл частных производных функции двух переменных
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Практическое занятие по теме: производная неявной функции однОй и нескольких переменных. Производная функции, заданной параметрически. Логарифмическое дифференцирование
- •Производная неявно заданной функции.
- •Производная функции, заданной параметрически.
- •Логарифмическое дифференцирование.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Практическое занятие по теме: Дифференциал функции одной и нескольких переменных, применение дифференциалов в приближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков
- •Основные свойства дифференциала
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7. Практическое занятие по теме: Правило Лопиталя
- •1.Неопределенность
- •2.Неопределенность .
- •3.Неопределенности , , .
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. Практическое занятие по теме: Общая схема исследования функции и построение графика
- •Алгоритм исследования функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
Задачи для самостоятельного решения
Найти и изобразить графически область определения функций.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13. Среди представленных функций, заданных аналитически, указать явные, неявные, параметрически заданные:
;
;
;
;
;
;
;
;
Определение. Число называется пределом последовательности , если для любого сколь угодно малого числа найдется такой номер , что для всех номеров выполняется неравенство .
Иначе говоря, если , то все точки , начиная с , попадают в полосу, ограниченную прямыми и (см.рис.1.2).
Рассмотрим – функцию одной переменной, определенную в –окрестности точки .
Определение. Число называется пределом функции в точке (или при ), если для любого наперед заданного сколь угодно малого , найдется такое число , что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .
Иначе говоря, если , то точки графика функции с абсциссами из – окрестности точки и соответствующими им ординатами из ‑окрестности точки должны лежать в полосе, ограниченной двумя прямыми и (см. рис.1.3).
Определение. Функция одной переменной называется бесконечно большой при , если для любого сколь угодно большего числа найдется число такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство , т. е. .
Определение. Функция одной переменной называется бесконечно малой при , если , т. е. для любого сколь угодно малого найдется число такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство , т.е. .
Бесконечно малые (большие) функции часто называют бесконечно малыми (большими) величинами, их обозначают обычно греческими буквами , и т. д. или .
Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций
-
Если – бесконечно малая (большая) функция, где , то – бесконечно малая (большая) функция.
-
Если – бесконечно малая функция, а – ограничена, то – бесконечно малая функция.
-
Если и – бесконечно малые (большие) функции, то – бесконечно малая (большая) функция.
-
Если – бесконечно малая (большая) функция, а , то – бесконечно малая (большая) функция.
-
Если – бесконечно малая (большая) функция и , то – бесконечно малая (большая) функция.
-
Если функция – бесконечно малая (большая) функция, то есть бесконечно большая (малая) функция.
-
, где – бесконечно малая функция.
Правила, по которым находятся пределы функций, включают теоремы, справедливые для функции любого числа переменных при и при . Эти правила позволяют находить пределы в тех случаях, когда функции представляют собой результат арифметических действий над другими функциями, пределы которых существуют и заранее известны.