Задачи для самостоятельного решения
Найти указанные производные.
6.23.
,
6.24.
,
6.25.
,
6.26.
,
6.27.
,
6.28.
.
Показать, что
.
6.29.
, 
6.30.
.
Найти
,
.
6.31.
,
6.32.
.
Найти
,
.
6.33.
,
6.34.
,
6.35.
,
6.36.
,
6.37.
,
6.38. Доказать, что
функция
удовлетворяет соотношению
.
6.39.
.
Убедиться, что
и
.
6.40.
.
Проверить, что
.
6.41.
.
Показать, что
.
6.42.
6.43.
,
6.44.
,
6.45.
,
6.46.
,
6.47.
6.48.
6.49.
6.50.
,
6.51. Найти все
частные производные второго порядка
для функции
.
Определение.
Дифференциалом
‑го
порядка функции
называется дифференциал от дифференциала
‑го
порядка
.
Если
‑ независимая переменная, то
дифференциалы
высших порядков
вычисляются по формулам:
.
Определение.
Полным
дифференциалом
‑го
порядка функции
называется полный дифференциал от
полного дифференциала
‑го
порядка
.
Если
,
– независимые переменные, то полные
дифференциалы
функции
вычисляются по формулам:
,
и т.д.
Пример 15.
.
Найти
.
Решение. Имеем
,
.
Ответ.
.
Пример 16.
.
Найти
.
Решение. Имеем
.
Тогда
,
.
Следовательно,
.
Ответ.
.
Задачи для самостоятельного решения
6.52.
,
6.53.
,
6.54.
,
6.55.
,
6.56.
,
6.57.
,
6.58.
,
7. Практическое занятие по теме: Правило Лопиталя
Теорема.
Пусть функции
и
непрерывны и дифференцируемы в
окрестности точки
и обращаются в ноль в этой точке:
,
при этом
в окрестности точки
.
Если отношение производных этих функций
имеет предел при
,
равный
,
то отношение самих функций также имеет
предел при
,
равный пределу отношения их производных,
т.е.
(7.1)
Формула (7.1)
справедлива и при
,
и в том случае, когда обе функции
и
стремятся к бесконечности.
Таким образом, теорема сводит предел отношения бесконечно малых (бесконечно больших) функций к пределу отношения производных этих функций, если последний существует.
Отыскание предела отношения двух функций с использованием выше приведенной теоремы называется правилом Лопиталя.
Правило Лопиталя
применяется для раскрытия неопределенностей
вида
и
,
которые называются основными.
Иногда, после
перехода от
к
по правилу Лопиталя сохраняется
неопределенность отношения производных.
Тогда правило Лопиталя применяют
повторно, а в некоторых случаях и не
один раз.
На каждом этапе применения правила Лопиталя следует пользоваться упрощающими отношение тождественными преобразованиями.
Неопределенности
вида
,
,
,
,
сводятся к двум основным видам
и
,
путем тождественных преобразований.
1.Неопределенность
,
где
,
.