- •Дифференциальное исчисление
- •Содержание
- •Введение
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций
- •Теоремы о пределах (правила предельного перехода)
- •Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых величин
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Свойства эквивалентных бесконечно малых функций
- •Важнейшие эквивалентности
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3. Практическое занятие по теме: Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация
- •Задачи для самостоятельного решения
- •4. Практическое занятие по теме: вычисление производной функции одной переменной. Таблица производных. Нахождение частных производных. Производная сложной функции
- •Правила дифференцирования результатов арифметических действий над функциями
- •Геометрический смысл производной функции одной переменной
- •Геометрический смысл частных производных функции двух переменных
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Практическое занятие по теме: производная неявной функции однОй и нескольких переменных. Производная функции, заданной параметрически. Логарифмическое дифференцирование
- •Производная неявно заданной функции.
- •Производная функции, заданной параметрически.
- •Логарифмическое дифференцирование.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •6. Практическое занятие по теме: Дифференциал функции одной и нескольких переменных, применение дифференциалов в приближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков
- •Основные свойства дифференциала
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •7. Практическое занятие по теме: Правило Лопиталя
- •1.Неопределенность
- •2.Неопределенность .
- •3.Неопределенности , , .
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. Практическое занятие по теме: Общая схема исследования функции и построение графика
- •Алгоритм исследования функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
Теоремы о пределах (правила предельного перехода)
Теорема 1. , где .
Теорема 2.
.
Теорема 3.
Теорема 4. .
Теорема 5. .
Теорема 6. .
В случае, когда функция определена в точке, то чтобы найти предел, можно вместо независимой переменной подставить её значение в предельной точке.
Пример 2. Найти .
Решение: В данном случае предел функции, стоящей в знаменателе, при отличен от нуля, поэтому можно применить правила предельного перехода
.
Ответ. .
Пример 3. Найти .
Решение. Предел знаменателя при равен нулю. В данном случае воспользуемся свойством бесконечно малой функции (см. свойство 6). Функция – бесконечно малая при , тогда обратная ей дробь – бесконечно большая функция, а значит .
Ответ. .
Пример 4. Найти .
Решение.
.
Ответ. .
Очевидно, если знаменатель дроби не обращается в ноль, то чтобы найти такой предел, достаточно в выражение функции подставить предельные значения независимых переменных. Если же знаменатель стремиться к нулю , а числитель к некоторому постоянному числу, то при нахождении предела используют свойство бесконечно малой величины (см. свойство 6).
В случае неопределенных выражений, характеризуемых условно символами: (будем называть их неопределенностями), которые возникают при отыскании предела выражений: ; ; или предел может существовать или не существовать. В пределах такого типа, требуются дополнительные преобразования или специальные исследования. Рассмотрим некоторые из них.
I. Раскрытие неопределенности в пределе отношения двух многочленов:
II. Раскрытие неопределенности в пределе вида .
а) Если числитель и знаменатель – многочлены, то чтобы раскрыть данную неопределенность, необходимо числитель и знаменатель разложить на множители и сократить дробь. В некоторых случаях удобнее разделить числитель и знаменатель на критический множитель (для функции одной переменной), или воспользоваться определением предела.
b) Если дробь является иррациональным выражением, то в некоторых случаях, чтобы раскрыть данную неопределенность необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на выражение, сопряженное иррациональному или применить подстановку.
III. Раскрытие неопределенности в пределе вида .
Чтобы раскрыть данную неопределенность, необходимо преобразовать разность в частное.
Пример 5. Найти .
Решение.
,
так как и , .
Ответ. .
Пример 6. Найти .
Решение.
Ответ. .
Пример 7. Найти.
Решение.. Разделим числитель и знаменатель на критический множитель , тогда
.
Ответ. .
Пример 8. Найти .
Решение. .
Умножим числитель и знаменатель на выражение – сопряженное числителю :
..
Ответ. .
Пример 9. Найти .
Решение. Умножим числитель и знаменатель дроби на сумму , а в знаменателе вынесем за скобки :
.
Ответ. .
Пример 10. Найти .
Решение..
Выполним подстановку при .
.
Ответ. .
Пример 11. Найти .
Решение. . Преобразуем разность в частное, выполнив действие между дробями
Ответ. .
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Найти пределы.
1.15.
1.16.
1.17.
1.18.
1.19.
1.20.
1.21.
1.22.
1.23.
1.24.
1.25.
1.26.
1.27.
1.28.
1.29.
1.30.
1.31.
1.32.
1.33.
1.34.
1.35.
1.36.
1.37.
1.38.
1.39.
1.40.
1.41.
1.42.
1.43.
1.44.
2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ ПО ТЕМЕ: