В цьому випадку:

F(p) = f / p; F₁(p) = f; F₂(p) = p.

Тоді (4.2) прийме вигляд:

x(p)=(K(p)f+pM(p))/(pH(p)). (4.3)

Якщо в (4.3) корені поліному Н(р) = 0 будуть простими (не кратними) і при t = 0 система знаходиться в рівноважному стані, то, використовуючи формулу розкладення Хевісайда, отримаємо:

x(t)=K(0)/H(0)+Σ[K(p)/ (p H΄(p))] _p=pk ^epkt , (4.4)

де: H΄(p) = [ d /dt H(p)] _p=pk , n – порядок полінома Н(р) = 0; р₁, р₂,…р_n – корені полінома Н(р)= 0; К(0) = К(р) і Н(0) = Н(р) при р = 0.

На основі властивостей полінома Н(р)=0, його можна представити у виді:

Н(р) = а₀ (р - р₁) … (р – р_k) … (p – р_n) = a₀ Π (p – р_k);

H΄(p) = (р_k - р₁) … (р_k – р_n) = Π (р_k – р_q).

Тоді (4.4) можна переписати так:

x(t)=K(0)/H(0)+Σ[K(р_k)/(р_kΠ(р_k–р_q)) e^pkt ]. (4.5)

Вираз (2.81) дозволяє побудувати перехідний процес x(t) в лінійній динамічній системі при одиничному впливу.

Операторний метод побудови перехідних процесів стає незручним для систем високого порядку, так як вимагається великий об’єм обчислень.

Побудова перехідних процесів частотним методом

Метод базується на використанні частотної характеристики Р(ω) дійсної частини виразу передаточної функції W(p) системи при р= jω:

W(jω) = P(ω) + jQ(ω). (4.5)

Не зупиняючись на доведенні, вкажемо, що між функціями x(t) і Р(ω) має місце наступні залежності:

x(t)=2/πω_0іP(ω)/ωsin(ωt)dω, (4.6)

або:

x(t)=P(0)+2/πω_0іQ(ω)/ωcos(ωt)dω (4.7)

Функції P(ω) та Q(ω) важко описати аналітично. Тому перехідні процеси безпосередньо по виразам (4.6) і (4.7) на практиці не розраховуються. Проте розрахунок суттєво спрощується, якщо криву P(ω) замінити сукупністю трапецій:

P(ω) = Σ P_і(ω), (4.8)

де: і – номер трапеції.

Кожній складовій P_і(ω) відповідає перехідний процес вигляду:

x_і(t) = 2/π ω_0і P_i(ω) / ω sin(ωt) dω.

Таким чином, x(t)=Σx_і(t). (4.9)

Вираз (4.9) лежить в основі методу розрахунку перехідних процесів в лінійних динамічних системах з використанням дійсної частотної характеристики P(ω). Для практичної реалізації метода кожну і-ту трапецію визначимо наступними параметрами: P_0і - висота; ω_0і - інтервал пропускання частот; ω_dі – інтервал рівномірного пропускання частот; ν=ω_dі/ω_0і - коефіцієнт нахилу. Крім того, вводиться поняття типової одиничної трапеції, для якої прийнято Р₀ = 1, ω₀ = 1 при будь-якому значенні ν.

Залежність (4.6) для випадку, коли Р(ω) заінюється типовою одиничною трапецією, дає наступні вирази перехідного процеса:

h(t)=2/(π(1-ν))[Si(T)-νSi(νT)+(cos(T)-cos(νT)/T], (4.10)

де: Si(τ) – інтегральний сінус виразу sin τ / τ)dt.

Функція h_i(t) легко перетворюється у відповідну функцію х_i(t) шляхом перахунку масштабу по осям. Грунтуючись на зв’язку характера функції Р(ω) і функції переходного процесу цей перерахунок здійснюється так:

х_i(t)=h_i(τ)ω_0і; t=τ/ω_0i (4.11)

Значення функції h(τ) для різних значень ν і τ розраховані та зведені в таблиці, які дозволяють легко отримати точки кривої х_i(τ).

На основі викладеного порядок побудови графіка перехідного процесу в лінійній динамічній системі при одиничному впливі на вході з використанням дійсної частотної характеристики зводиться до такої послідовності операцій:

1. на основі передаточної функції системи W(p) шляхом заміни р на jω та відокремлення дійсної частини від уявної знаходиться характеристика Р(ω);

2. функція Р(ω) розподіляється на трапецієвидні складові, для кожної з яких визначаються параметри Р_0і, ω_0і, ω_dі, ν;

3. за допомогою таблиць знаходяться h-функції для відносного часу тьсвикористовуючи співвідношення маштабів;

4. визначається крива перехідного процесу в системі як алгебраїчна сума кривих х_i(t): x(t) = Σ x_і(t), де: n – число трапецій, якими замінена характеристика Р(ω)_. Розглянутий метод можна розповсюдити на побудову перехідних процесів при впливу, що відрізняється від одиничного, про що піде мова нижче.

Як, відмічалося, перехідні процеси в лінійних динамічних системах будуються звичайно для замкнених систем. Тому найбільш трудомісткою частиною розрахунку є визначення характеристики Р(ω) замкненої системи. Ця частина розрахунку суттєво спрощується при використанні для визначення дійсної частотної характеристики Р(ω) замкненої системи характеристик L(ω) і ν(ω) розімкненої системи. В теорії автоматичного управління широко використовуються номограми для визначення функції Р(ω) замкненої системи за логарифмічними амплітудно-фазовим частотним характеристикам розімкненої системи.

Від перехідного процесу, викликаного одиничним вхідним впливом, можна перейти до перехідного процесу від довільного впливу u(t), використовуючи інтеграл Дюамеля, або згортання:

x(t)=u(t-τ)ω(τ)dτ, (4.12)

або:

x(t) = ω (t - τ) u(τ) dτ

де: u(t); ω(t) – імпульсна перехідна функція.

Імпульсна перехідна функція ω(t) представляє собою перехідний процес в системі, до якої прикладений імпульсний вплив у виді δ-функції яка відповідає умові

δ(t)dt =1; δ(p)=1, (4.13)

де δ-функція існує тільки при t = 0.

Неважко впевнитися, що між імпульсною перехідною функцією ω (t) і функцією h(t) існує залежність:

ω(t)=h^΄(t), (4.14)

тобто, ω(t) представляє собою першу похідну за часом h-функції – функції перехідного процесу при одиничному збуренні.

Контрольні запитання до лекції 4.

1. Як хароктеризуються і чим відрізняються логарифмічні (ЛАХ), амплітудно-фазові (АФХ), частотні характеристики (ЛАФЧХ)?

2. Який алгоритм побудова частотних характеристик лінійних САУ?

3. Визначення стійкості. Постановка задачі аналізу САУ на стійкість.

4. Що таке загальність лінійних умов систем управління; принцип лівих коренів?

5. Опишіті всі відомі вам критерії стійкості: алгебраїчні і частотні.

6. Що розуміється під областю стійкості САУ?

7. Визначення поняття "якість управління". Яким чином це поняття застосовується на практиці?

8. Прямі і побічні засоби оцінки якості управління. Засоби розрахунку перехідних процесів в лінійних САУ.