Хвх хвих

Інтегруюча W(p)= k/p х_вих = kx_вх t

х_вх х_вих

Підсилююча W(p) = k х_вих = kx_вх

х_вх х_вих

Диференцію- W(p) = τ p х_вих = τ dх_вх/dt

юча

х_вх х_вих

W(p) = k(τp+1) х_вих = k(τ dх_вх/dt+ х_вх)

Контрольні запитання до лекції 2.

1. Наведіть основні визначення і поняття теорії автоматичного управління; об'єкт управління, вхідні і вихідні впливи.

2. Що розуміється під зміст задач управління динамічними об'єктами?

3. Визначення і склад САУ. Що таке функціональна схема САУ?

4. Стисла характеристика фізичних елементів САУ: об'єкти управління, датчики, підсилювальні і виконавчі елементи, що корегують прилади, елементи порівняння, вхідні і вихідні змінні.

5. Як розрізняються головні і місцеві зворотні зв'язки, жорсткі і гнучкі зворотні зв'язки?

6. Які ви знаєте принципи і закони регулювання?

7. Що таке статичний режими роботи САУ?

8. Основні визначення статики САУ, статична помилка регулювання.

9. Динамічні режими роботи САУ.

10. Які ви знаєте основні показники динамічних режимів роботи систем автоматичного управління?

11. Математичний опис динаміки елементів САУ.

12. Визначення поняття передадаточних функцій.

13. Які ви знаєте передаточні функції елементів, і систем автоматичного управління?

14. Охарактеризуйте типові структурні ланки лінійних САУ.

15. Чим відрізняються передаточні і перехідні функції типових структурних ланок?

16. Як ви розумієте передаточні функції сполучень ланок: послідовного, паралельного, охоплених зворотними зв'язками; загальний випадок сполучення ланок; розімкнені САУ з перехресними зворотними зв'язками?

17. Передаточні функції замкнутих САУ за керуючим і збурюючим впливами.

18. Визначення і призначення частотних характеристик елементів і систем автоматичного управління.

Лекція 3. Стійкість лінійних динамічних систем

Найважливішою задачею аналізу динамічних систем є розв’язання питання про їх стійкість, тобто наявності чи відсутності в системі здатності вертатися до рівноважного стану, з якого вона виводиться обурюючими чи, оскільки будь-який вплив на таку систему викликає неприпустиме зростання фізичних величин, які характеризують роботу системи (струм, електрична напруга, прискорення, механічна напруга, тощо).

Виникнення управляючими впливами. Раніше помічалося, що нестійка система непрацездатнанестійких (розбіжних) коливань у системі можна пояснити, наприклад, прослідкувавши включення системи управління величиною х_вих.. Управляюча величина на вході регулятора х_р в режимі встановленої роботи системи визначається як різниця х_р=х_вх–х_зз. В перший момент включення системи в силу інерційності зворотнього зв’язку(ЗЗ) х_зз=0, отже, х_р=х_вх, тобто х_р>>х_р.вст., де: х_р.вст. – управляючий вплив на вході регулятора. Дійсно, це може викликати значне зростання вихідної величини х_вих››х_{вих.вст.}, яка буде зростати доти, доки сигнал зворотного зв’язку не зменьшить значення х_р. Однак, величина х_вих., яка значно зросла, через ЗЗ передається на вхід системи та суттєво зменшить значення х_р, що може призвести до наступного зниження величини х_вих. та виникнення умови х_вих << х_{вих.вст.}. При несприятливому співвідношенні параметрів системи описанні коливальні процеси можуть стати розбіжними.

Задача дослідження систем на стійкість може бути поставлена подвіййно: 1) чи стійка система при заданому значенні її параметрів; 2) в яких діапазонах можна змінювати параметри системи, не порушуючи її стійкості. Друга постановка задачі про стійкість має місце при налагодженні та експлуатації системи автоматичного управління.

Аналіз системи на стійкість та вибір засобів для стабілізації нестійких систем здійснюється із застосуванням критеріїв (ознак) стійкості, які формулюються виходячи із загальних умов стійкості.

Питання про стійкість системи зводиться до з’ясування стійкості вільного руху системи та вимагає аналізу характеру розв’язання рівняння вільного руху, складеного відносно відхилення вихідної величини х від стану,який встановився. На основі диференційного рівняння вільного руху в розімкненій лінійній динамічній системі та операторного рівняння вільного руху в замкненій системі рівняння вільного руху системи може бути приведене до виду:

a₀ dⁿx/dtⁿ + a₁ d^n-1x/dt^n-1 + … + a_n-1 dx/dt + a_nx = 0 , (3.1)

де: n – порядок рівняння системи; a_i – коефіцієнти, які визначаються з параметрів системи.

Лінійне однорідне диференційне рівняння (3.1) має загальний розв’язок виду:

x = c₁e^p1t + c₂e^p2t + … + c_ne^pnt , (3.2)

де: с₁, с_i, с_n – постійні інтегрування; р₁, р_i, р_n – корені характеристичного рівняння.

Характеристичне рівняння, яке відповідає диференційному рівнянню (3.1), має вигляд: К(р) + Н(р) = 0, де К(р), Н(р) – характеристичні поліноми, відповідно, чисельника і знаменника передаточної функції розімкненої системи.

Якщо аналізується стійкість розімкненої системи, то як слідує з (2.29), характеристичне рівняння має вигляд: Н(р) = 0. Частіше необхідно аналізувати стійкість замкненої системи.

У всіх випадках характеристичне рівняння вільного руху приводиться до виду:

a₀ pⁿ + a₁ p^n-1 + … + a_i p^n-i + … + a_n-1 p + a_n = 0. (3.3)

Корені рівняння (3.3) можуть бути або дійсними, або комплексними попарно спряженими.

У випадку дійсних коренів позначимо р_i=λ_i. Тоді загальний розв’язок рівняння (3.1) представляється як сума n розв’язків виду: х_i=с_ie^λit. Так як в (3.1) величина х означає відхилення регульованої величини від стану, який встановився, то очевидна умова стійкості при t > 0 має вигляд: x(t)>0. Кожна складова загального розв’язку прямує до нуля лише при від’ємному значенні дійсного кореня, тобто при t_i < 0.

Комплексні корені мають вигляд: p_k = α_k ± jω_k, де: α_k – дійсна частина комплексного кореня; ± jωk- коефіцієнт при уявній частині – кутова частота коливань.

Кожному кореню р_k у випадку, який розглядається, буде відповідати частковий розв’язок:

x_k = X_k sin ( ω_kt + φ_k), (3.4)

де: Х_k = B_k e^αkt – амплітуда складової х_k; B_k, φ_k – постійна інтегрування.

Рух, що описується рівнянням (3.4), буде збіжним, якщо при t рішення x_k(t)0. Це можливо лише при від’ємному значенні дійсної частини комплексного кореня.

Виходячи з викладеного, можна вивести умову стійкості лінійних динамічних систем: лінійна система буде стійкою, якщо всі дійсні корені і всі дійсні частини комплексних кореней характеристичного рівняння, яке відповідає початковому диференційному равнянню вільного руху системи, будуть від’ємні.

Дуже важливою для практичного аналізу стійкості є геометрична інтерпретація умов стійкості. Вона зводиться до того, що в стійкій лінійній системі всі корені характеристичного рівняння, яке відповідає диференційному равнянню вільного руху системи, на комплексній площині в координатах j розташовуватися зліва від уявної осі. Такі корені будемо називати “лівими”. Отже умова стійкості в такій постановці зводиться до того, щоб корені характеристичного рівняння були лише “лівими”. Виходячи з цього, в теорії управління розроблений ряд ознак – критеріїв стійкості лінійних динамічних систем, які дозволяють винести судження про стійкість системи, не обчислюючи значення коренів характеристичного рівняння. В практиці дослідження лінійних систем автоматичного управління широко використовуються дві групи критеріїв стійкості – алгебраїчні та частотні. Застосування того чи іншого критерію визначається умовою конкретної задачі, наприклад порядком диференційного рівняння вільного руху системи, наявністю чи відсутністю тих чи інших характеристик системи, яка досліджується – передаточних функцій, АФХ, ЛАФЧХ та інших.

Не зупиняючись на доведеннях, які побудовані на твердженні необхідності лівих коренів для забезпечення стійкості лінійної динамічної системи, наведемо деякі з критеріїв стійкості.

Критерій Рауса. Практичне використання алгебраїчного критерія Рауса зводиться до того, що на базі значень коефіцієнтів характеристичного рівняння (3.3) складається таблиця Рауса, коефіцієнти якої b_re назвемо елементами таблиці Рауса, де r – номер рядка таблиці, e – номер стовпчика.

Елементи першого рядка таблиці є коефіцієнтами характеристичного рівняння (3.3) з парними індексами, тобто b₁₁ = a₀, b₁₂ = a₂ і т. д. Елементи другого рядка представляють собою коефіцієнти рівняння (3.3) з непарними індексами, тобто b₂₁ = a₁, b₂₂ = a₃ і т.д. Для знаходження інших елементів таблиці Рауса можна скористатися виразом:

b_re =( b_r-1,1 b_r-2,e+1 – b_r-2,1 b_r-1,e+1 ) / b_r-1,1.

b11	b12	b13	b14	…	…	…
b21	b22	b23	b24	…	…	…
b31	b32	b33	b34	…	…	…
...	...	....	....	...	...	...
...	...	....	....	...	...	...

Критерій Рауса формулюється так: лінійна динамічна система буде стійкою, якщо всі елементи першого стовпчика таблиці Рауса додатні. Форма критерія Рауса дозволяє легко реалізувати його за допомогою ЕОМ.

Критерій Гурвіца.

Для аналізу стійкості лінійної системи по критерію Гурвіца з коефіцієнтів характеристичного рівняння (3.3) складаємо визначники Гурвіца:

а₁ а₀ 0 0

а₁ а₀ а₁ а₀ 0 а₃ а₂ а₁ 0

₁ = а₁; ₂ = а₃ а₂ ; ₃ = а₃ а₂ а₁ ; ₄ = а₅ а₄ а₃ а₂ .

а₅ а₄ а₃ а₇ а₆ а₅ а₄

Кількість визначників Гурвіца дорівнює порядку характеристичного рівняння n.

За критерієм Гурвіца - лінійна динамічна система буде стійкою, якщо всі коефіцієнти характеристичного рівняння та всі визначники Гурвіца додатні.

Будь-який визначник _i складається за одним загальним правилом: кількість рядків та стовпчиків визначника _i дорівнює i; по діагоналі визначника розташовуються підряд коефіцієнти характеристичного рівняння від а₁ до a_i; вліво від діагоналей на кожному рядку розташовуються коефіцієнти із зростаючими індексами, вправо – зі спадаючими. Елементи, які розташовуються вправо від а₀, та елементи з індексами, що перевищують ступінь характеристичного рівняння, заміняються нулями.

З критерія Гурвіца випливають прості алгебраїчні вирази, складені з коефіцієнтів характеристичного рівняння, зручні для аналізу стійкості систем невисокого порядку. Так, для системи першого та другого порядків достатньою умовою стійкості є додатність всіх коефіцієнтів характеристичного рівняння. Для систем більш високого порядку ці умови зберігаються, але, крім того, необхідне виконання наступних співвідношень:

• в системах третього порядку а₁а₂ - а₀а₃ > 0;

• в системах четвертого порядку (а₁а₂ – а₀а₃)а₃ – а₁² а₄ > 0.

Недолік критерія Гурвіца – громіздкість обчислень визначника для систем високого порядку.