Лекція 4. Якість управління в ланайних динамічних системах

Під якістю управління розуміється характер перехідних процесів в системі, викликаних управляючими та збурюючими впливами. Закони зміни величин, які характеризують систему, задаються. Дослідження якості процесу управління зводиться, таким чином, до визначення дійсного характеруперехідних процесів в системі та порівнянню його з заданими законами. Якщо система не задовольняє потрібним показникам якості управління, то в неї вводяться додаткові елементи – корегуючі пристрої, які, не порушуючи основного призначення системи, забезпечують потрібну якість управління.

Для оцінки якості управління необхідно мат кількісні та якісні показники, які характеризують форми перехідних процесів в системі.

Оцінки якості управління можуть бути непрямими або прямими.

Непрямі оцінки отримують на основі аналізу тих чи інших характеристик системи, наприклад частотних. Непрямі методи оцінки дозволяють отримати деякі параметри перехідного процесу, наприклад встановити його принциповий характер – збіжний він чи розбіжний.

Серед непрямих методів оцінки якості процесу управління отримали розповсюдження кореневі, інтегральні та частотні методи.

Кореневі методи витікають з наявності зв’язку між формою перехідного процесу в системі і характером розподілу на комплексній площині коренів характеристичного рівняння. Наприклад, раніше було показано, що якщо є хоча б один правий корінь, то перехідний процес в системі буде розбіжним. Кореневі методи найбільш ефективні, якщо вдається виконати аналіз не тільки полюсів, а й нулів передаточної функції, тобто характеристичного полінома Н(р) = 0, а під нулями – корені чисельника передаточної функції, тобто полінома К(р) = 0.

Разом з тим кореневі методи найбільш повно розроблені для систем з передаточними функціями виду W(p) = k / H(p), тобто з передаточними функціями, які не містять нулів.

В інтегральних методах оцінками якості служать визначені інтеграли по часу від деякої функції фізичних величин, що характеризують систему, які обчислюються без розв’язку диференційного рівняння системи. Інтегральні методи найбільш зручні для порівняльної оцінки узагальнених показників якості в системах управління, близьких за деякими властивостями.

Частотні методи базуються на зв’язку між формою перехідного процесу в системі та дійсною частиною частотної характеристики. Ці методи дозволяють приблизно побудувати всю криву перехідного процесу, не розв’язуючи диференційних рівнянь, які описують систему, яка досліджується.

До прамих оцінок відносяться кількісні показники форми перехідного процесу фізичних змінних в системі при заданих впливах на неї. Пряма оцінка якості може бути отримана лише після того, як побудована залежність x(t), яка нас цікавить.

Побудова перехідних процесів операторним методом

Операторний метод аналізу якості управління базується на використанні передаточної функції системи, з якої можна отримати зображення шуканої величини:

x(p)=K(p)/H(p)F(p), (4.1)

де: F(p) – перетворена за Лапласом фукція впливу на систему (управляючого чи збурюючого).

Маючи зображення шуканої змінної x(p) та застосовуючи зворотнє перетворення Лапласа, можна визначити перехідний процес в системі, тобто функцію x(t).

Вираз (4.1) дозволяє знайти зображення функції перехідного процесу лише при нульових початкових умовах, що витікає з визначення передаточної функції системи. Як відомо, початкові умови будуть нульовими тоді, коли в початковтй момент впливу на систему сама функція x(t) та всі її похідні до (n-1)-ї включно рівні нулю. Початкові умови залежать від стану системи в момент прикладення збурюючого впливу та від його форми, яка визначається видом полінома К(р) – полінома чисельника передаточної функції системи. Можна виділити наступні обставини, які забезпечують нульові початкові умови:

1) початкові умови будуть нульовими при будь-якому впливі на систему, якщо в момент його прикладення система знаходилася в рівноважному стані, і поліном К(р) = k, тобто не містить р;

2) система в момент прикладення впливу знаходилась в рівноважному стані, в числі членів полінома К(р) маються такі, які містять р, але всі похідні функції впливу на систему, аж до m-ї включно, при t = 0 рівні нулю (тут m – порядок полінома К(р));

3) система знаходилась в нерівноважному стані, поліном К(р) містить члени, які містять р, але форма збурюючого впливу така, що при t = 0 кожний член правої частини диференційного рівняння руху системи, що містить похідну впливу на систему до m-ї включно, врівноважується відповідним членом лівої частини рівняння, який містить похідну збурення того ж порядку.

При ненульових початкових умовах зображення вихідної величини системи має вигляд:

x(p)=K(p)/H(p)F(p)+M(p)/H(p), (4.2)

де: M(p) – поліном, який враховує вплив ненульових початкових умов.

Для множини випадків зображення функції впливу на систему має вид дробно-раціонального виразу F(p) = F₁(p) / F₂(p). Тоді (4.2) прийме вигляд:

x(p) = ( K(p)F₁(p) + F₂(p)M(p) ) / ( H(p)F₂(p) )

Лінійні динамічні системи часто досліджуються в режимі впливу в формі одиничного стрибка f :

0 при t < 0

f = f (t) F при t > 0 .