Лінійні динамічні системи управління Математичні моделі ланок лінійних динамічних систем.

Лінійними називаються системи управління, які і в статиці і в динаміці описуються лінійними рівняннями. Одна з основних особливостей лінійних систем заключається в тому, що до них застосовується принцип суперпозиції, у відповідності з яким реакція системи на сукупність збурень визначається сумою реакцій на кожне збурення, яке прикладається до системи в момент часу, що розглядається.

Реальні системи управління, особливо складні,– суттєво нелінійні. До лінійного опису можна умовно звести тільки невеликий клас динамічних систем, але і в цих випадках властивості реальних систем лише наближено відображуються їх лінійними моделями. Однак, недивлячись на обмеженість лінійних моделей, їх роль в теорії управління дуже велика. Це пояснюється тим, що припущення про лінійність систем управління в ряді випадків не призводить до неприпустимих похибок, з однієї сторони, а з іншої – суттєво спрощує дослідження систем. Крім того, методи дослідження реальних нелінійних систем управління в значному ступені базується на методах дослідження лінійних систем

Теорія управління лінійними системами розроблена достатньо глибоко і розпоряджається ефективними і простими методами аналізу та синтезу систем управління, в основному систем автоматичного управління та регулювання. Слід підкреслити, що лінійна теорія управління дозволяє вивчити лінійні моделі реальних процесів та об’єктів, а не самі процеси та об’єкти.

Динамічні режими лінійних систем досліджуються за допомогою їх математичних моделей. При цьому будь-яку динамічну лінійну систему можна представити у вигляді сукупності наступних типових структурних ланок: аперіодичних, коливальних, інтегруючих, діференціюючих та підсилюючих. Кожна з названих ланок достатньо повно характеризується формою діференціального рівняння, видом передаточної та видом перехідної функції.

Диференціальне рівняння ланки визначає зв’язок між його вихідними та вхідними величинами в динамічних режимах.

Передаточна функція ланки W(p) представляє собою відношення перетвореною за Лапласом вихідної величини ланки до перетвореної за Лапласом вхідної величини при нульових початкових умовах:

W(p) = хвих(р) / хвх(р) (2.1)

Перехідна функція h(t) показує характер перехідного процесу в ланці, на вході якої прикладений одиничний вхідний вплив:

h(t) = хвих(t) при хвх(t) = [1].

Вказані характеристики ланки складають важливі елементи апарату дослідження динамічних лінійних систем. Розглянемо ці характеристики для кожної з перерахованих ланок.

Аперіодична ланка

Аперіодичною називається ланка, в якій зв’язок між вихідною та вхідною величинами виражається рівнянням

Tdxвих / dt + хвих = kхвх, (2.2)

де k – коефіцієнт підсилення (передачі) ланки; Т – постійна часу ланки, с. Величини k і Т виражаються через фізичні параметри конкретної ланки.

Застосовуючи до рівняння (2.2) перетворення Лапласа при нульових початкових умовах, отримаємо передаточну функцію аперіодичну функцію аперіодичної ланки:

W(p) = xвих(p) / xвх(p) = k / (Tp+1) (2.3)