Коливальна ланка

Коливальною називається ланка, в якій зв’язок між вихідною та вхідною величинами виражається рівнянням

Т² d²x_вих/dt² +2ξTdx_вих/dt + x_вих = kx_вх (2.8)

при умові ξ < 1. У рівнянні (2.8) Т – постіна часу; k – коефіцієнт підсилення; ξ – коефіцієнт затухання.

Розв’язок диференційного рівняння (2.8), а отже, характер зміни х_вих(t) залежить від значення коренів відповідного характеристичного рівняння

Т²α² + 2ξТα + 1 = 0; (2.9)

α_1,2 = - 1/Т (ξ + √ξ² - 1). (2.10)

При ξ < 1 корені α₁ та α₂ – комплексні. В цьому випадку перехідний процес в ланці носить коливальний характер, а перехідна функція коливальної ланки має вигляд

h(t)=k[1-(e^-ξt/T/√1-ξ²) sin((√1-ξ²/T)*t+arctg(√1-ξ²/ξ))] (2.11)

Коливання (2.11) носять затухаючий характер – крива 1 на мал. 2.1 б. Дійсно, з (2.11) при t→ ∞ маємо х_вих(t) → k.

Застосовуючи до рівняння (2.8) перетворення Лапласа при нульових початкових умовах, отримаємо передаточну функцію стійкої коливальної ланки:

W(p) = x_вих(p)/x_вх(p) = k/(T²p² + 2ξTp + 1 ) (2.12)

Якщо диференційне рівняння ланки має вигляд

Т²d²x_вих/dt² – 2ξdx_вих/dt + x_вих = kx_вх, (2.13)

то перехідна функція

h(t) = k(e^ξt/T/√1-ξ²)sin((√1-ξ²/T)t+arctg(√1-ξ²/ξ)). (2.14)

З (2.14) при t→ ∞ слідує h(t)→ ∞, тобто коливання в такій ланці носять розбіжний характер (крива 2 на мал.2.1, б). Ланка, в якій зв’язок між вхідною та вихідною величинами описується диференційним рівнянням (2.13) при ξ < 1, називається нестійкою коливальною ланкою.

Нарешті, якщо в рівнянні (2.8) ξ >1, то корені характерестичного рівняння (2.9) будуть дійсними:

α₁ = - (ξ + √ξ² - 1)/T α₂ = -(ξ - √ξ²-1)/Т

В цьому випадку

h(t) = k(1- T₁/(T₁-T₂)e^-t/T1+T₂ / (T₁ -T₂)e ^–t/T2 (2.15)

де Т₁ = - 1/α₁, Т₂ = - 1/α ₂.

Таким чином, при ξ > 1 рівняння (2.8) описує дві аперіодичні лани, з’єднані послідовно що мають постійні часу Т₁ і Т₂ та коефіцієнти підсилення, добуток яких дорівнює k.

Прикладом коливальної ланки може бути двигн постійного струму незалежного збурення (мал.1.6, б), у якого х_вх = u – напруга, що підводиться до якоря електродвигуна; х_вих =n – швидкість обертання вихідного валу, а момент опору на валу М_с = 0, тобто двигун працює вхолосту, при цьому враховується індуктивність ланцюга якоря. При вказаних умовах рівняння двигуна

Т_мТ_я d²n/dt² + T_м dn/dt + n = ku, (2.16)

де Т_м – електромеханічна постійна часу, яка характеризує механічну інерцію валу; Т_я – електромагнітна постійна часу ланцюга якоря двигуна, яка характеризує електромагнітну інерцію ланцюга якоря; k – коефіціент підсилення.

Величини Т_м, Т_я, і k визначаються через параметри двигуна, в тому числі Т_я = L_я/R_я , де L_я, R_я - індуктивність та опір ланцюга якоря.

Позначаючи в (2.16) Т_мТ_я = Т²; Т_м = 2ξТ, отримаємо типове рівняння коливальної ланки, в якій х_вх= u; х_вих= n:

Т²d²n/dt² + 2ξTdn/dt + n = ku

Рівнянням типу (2.8) описується рух маси, що підвішана на пружині, електромагнітні процеси в електричному ланцюзі, що містить індуктивність L, активний опір R, ємність С та багато інших ланок динамічних систем. Всі ланки такого типу мають передаточну функцію виду (2.12). При цьому величини k і T виражаються через конструктивні параметри відповідної ланки.