Диференціююча ланка

Ідеальною диференціюючою називається ланка, в якій вихідна величина пропорційна похідній від вхідної велечини:

х_вих = Т dx_вх/dt , (2.22)

де Т – постійна часу ланки, яка визначається через її параметри.

Передаточна функція ідеальної диференціюючої ланки:

W(p) = x_вих(p)/x_вх(p) = Тp . (2.23)

З передаточної функції (2.23) видно, що при стрибкоподібній зміні вхідної велечини значення вихідної величини прямує до нескінченості, тобто при х_вх = [1]; х_вих = ∞ (рис.2.1, д). Звичайно що в реальних ланках такий перехідний процес не можливий та його описання в формі (2.22) ідеалізоване.

Як приклад диференціюючої ланки широко застосовується RC-контур (рис. 2.1, е), для якого на основі законів Ома та Кірхгофа можна записати:

u_вх = u_с + iR = u_с + u_вих = 1/C ∫ idt + u_вих .

Враховуючи, що і = u_вих / R, маємо:

u_вх = 1/Т ∫ u_вих dt + u_вих,

де Т = RC – постійна часу електричного контура, С.

З останнього виразу отримаємо:

Тdu_вих /dt + u_вих = Т du_вх /dt. (2.24)

Беручи до уваги, що u _вих = х_вих ; u_вх = x_вх, на основі (2.24) запишемо:

Тdx_вих/dt + u_вих = Тdu_вх/dt _. (2.25)

Підбираючи параметри ланки так, щоб Т dx_вих/dt <<х_вих, з (2.25) отримаємо рівняння ідеальної диференціюючої ланки – рівняння (2.22).

На вході реальних диференціюючих ланок окрім складової, пропорційної похідній від вхідної велечини, генеруються також і інші складові. В лінійних динамічних системах поряд з ідеальною диференційною ланкою, що описується рівняням (2.22) та передаточною функцією (2.23), в якості типових структурних ланок прийняті також:

• реальна диференціююча ланка першого порядку, яка описується рівнянням:

k( Тdx_вх/dt + x_вх) = x_вих. (2.26)

• диференціююча ланка другого порядку, яка описується рівнянням:

k ( Т² d²x_вх/dt² + 2ξτ dx_вх/dt +x_вх) = x_вих. (2.27)

Застосовуючи до (2.26) та (2.27) перетворення Лапласа при нульових початкових умовах, отримаєм передаточну функцію диференціюючої ланки першого порядку:

W(p) = x_вих(p)/x_вх(p) = k(Тp + 1), (2.28)

Та передаточну функцію диференціюючої ланки другого порядку:

W(p) = x_вих(p)/x_вх(p) = k(Т²p² + 2ξТp + 1) (2.29)

Постійна часу Т та коефіцієнт підсилення ланки k визначається на оснсві параметрів конкретних ланок.

Диференціюючі ланки широко використовуюються як корегуючий пристрій, що вводяться в систему для покращення її динамічних властивостей. За допомогою таких ланок у закони управління вводяться складові, пропорційні похідним по часу за відхиленням чи збуренням, що збільшує швидкодію системи.

Описаними типовими структурними ланками охоплюються всі ланки, можливі в динамічній системі управління. Не важко помітити універсальність приведеного математичного описання. Дійсно, описування ланок динамічних систем з використаням апарату передаточних функцій, що базується на початкових диференційних рівняннях, не залежить від їх фізичної природи. Будь-яка система управління, не залежно від призначення, структури, фізичної природи її елементів може бути представлена математичною моделлю у вигляді сукупності розглянутих вище типових структурних ланок (табл. 1).

Таблиця 1

Ланка Передаточна Типова ланка Перехідний процес

функція

х_вх х_вих

Аперіодична W(p)=k/(Tp+1) х_вих=kх_вх(1-е^-t/T)

Коливальна W(p)= х_вх х_вих х_вих=kx_вх[1-(e^{-ξ t/T})/√1-ξ² *

=k/(T²p²+2ξTp+1)

*sin((√1-ξ² /T)t+

+arctg( √1-ξ²) / ξ) ]