Хвих т т хвих

х_вх х_вх

2 1

kx_вх х_вих=kx_вх

1 1

0 t 0 t

а г

Хвих хвих

х_вх 2 ∞

1

kх_вх

1 1

0 t 0 t

б д

С

x_вих х_вих=f(t)

х_вх

х_вх=f(t)i u_c

1 u_вх R u_вих

arctg(k)

0 t

в e

Рис.2.1. Перехідні процеси в ланках: а) аперіодичній; б) коливальній; в) інтегруючій; г) підсилюючій; д) ідеальній диференціюючій; е) схема диференціюючої ланки.

Розв’язуючи рівняння (3) відносносно х_вих(t), отримаємо:

x_вих(t) = kx_вх (1 – e^-t/T ), (2.5)

або, при х_вх = 1 маємо перехідну функцію аперіодичної ланки:

h(t) = k (1 – e^-t/T ). (2.6)

Графік перехідного процесу в аперіодичній ланці зображений на рис.1, а кривою 1. Як видно з рівняння (2.5) та рис.2.1, а), перехідний процес в аперіодичній ланці повністю визначається значеннями коефіцієнта підсилення ланки k та її постійної часу Т.

Якщо диференційне рівняння аперіодичної ланки має вигляд:

Тdx_вих/dt – x_вих = kx_вх , (2.7)

то перехідний процес в ній описується рівнянням (2.8):

x_вих(t) = ke^t/T, (2.8)

і задається кривою 2 на рис.2.1, а. Ланка, яка описується рівнянням (2.7), називається нестійкою аперіодичною ланкою.

Аперіодичні ланки в лінійних динамічних системах зустрічаються дуже часто. Наведемо деякі приклади.

Приклад 1. Нехай на обмотки генератораподаний скачок напруги u_в. Диференційне рівняння ланки, що розглядається, має вигляд:

u_в = i_вR_в + Ldi_в/dt або u_в/R_в = i_в + Tdi_в/dt,

де: T=L/R_в – постійна часу ланцюга ОВГ; L – індуктивність ланцюга; R_в – опір ланцюга.

Враховуючи, що в ланці яка розглядається i_в =x _вих, u_в=x_вх, отримуємо:

Tdx_вих/dt + x_вих = kx_вх,

де k = x_вих / x_вих = 1 / R_в - коефіцієнт підсилення.

Приклад 2. Якщо розглянути зв’язок між змінними ω та і, то, використовуються електромеханічні властивості системи що розглядається при умові пропорційності між ω та М_с – моментом опору на валу електродвигуна, можна отримати:

Тdω/dt + ω = ki,

де: Т = І/с₁ – постійна часу; І – момент інерції, приведений до валу двигуна; с₁ - коефіцієнт пропорційності між М_с і ω; k=k_м/с₁ – коефіцієнт підсилення; k_м - коефіцієнт пропорційності між момементом М, який розвивається двигуном, та струмом і.

Коливальна ланка

Коливальною називається ланка, в якій зв’язок між вихідною та вхідною величинами виражається рівнянням:

Т² d²x_вих/dt² +2ξTdx_вих/dt + x_вих = kx_вх . (2.9)

При умові ξ < 1. У рівнянні (2.9) Т – постіна часу; k – коефіцієнт підсилення; ξ – коефіцієнт затухання.

Розв’язок диференційного рівняння (2.8), а отже, характер зміни х_вих(t) залежить від значення коренів відповідного характеристичного рівняннь:

Т²α² + 2ξТα + 1 = 0; (2.10)

α_1,2 = - 1/Т (ξ + √ξ² - 1). (2.11)

При ξ < 1 корені α₁ та α₂ – комплексні. В цьому випадку перехідний процес в ланці носить коливальний характер, а перехідна функція коливальної ланки має вигляд:

h(t)=k[1-(e^-ξt/T/√1-ξ²) sin((√1-ξ²/T)*t+arctg(√1-ξ²/ξ))]. (2.12)

Коливання (2.12) носять затухаючий характер – крива 1 на рис.2.1 б. Дійсно, з виразу (2.12) при t→ ∞ маємо х_вих(t) → k.

Застосовуючи до рівняння (2.9) перетворення Лапласа при нульових початкових умовах, отримаємо передаточну функцію стійкої коливальної ланки:

W(p) = x_вих(p)/x_вх(p) = k/(T²p² + 2ξTp + 1 ). (2.13)

Якщо диференційне рівняння ланки має вигляд:

Т²d²x_вих/dt² – 2ξdx_вих/dt + x_вих = kx_вх , (2.14)

то перехідна функція:

h(t)= k(e^ξt/T/√1-ξ²)sin((√1-ξ²/T)t+arctg(√1-ξ²/ξ)). (2.15)

З виразу (2.15) при t→ ∞ слідує h(t)→ ∞, тобто коливання в такій ланці носять розбіжний характер (крива 2 на рис.2.1, б ). Ланка, в якій зв’язок між вхідною та вихідною величинами описується диференційним рівнянням (2.13) при ξ < 1, називається нестійкою коливальною ланкою.

У випадку, якщо в рівнянні (2.8) ξ >1, то корені характерестичного рівняння (2.10) будуть дійсними:

α₁ = - (ξ + √ξ² - 1)/T ; α₂ = -(ξ - √ξ²-1)/Т.