II.Cложение и умножение вероятностей. Формула полной вероятности.

Формула Бейеса.

1. Покупатель может приобрести акции двух компаний. Надежность 1-ой компа нии оценивается экспертами на уровне 90% , а 2-ой компании- на уровне 80%. Найти вероятность того, что:

1. обе компании в течение года не станут банкротами,

2. обе компании обанкротятся,

3. хотя бы одна из компаний обанкротится.

2.Вероятность поражения мишени 1-ым стрелком равна Р₁ =90%, 2-ым стрелком –Р₂ = 80%, 3-им стрелком – Р₃ = 85%. Трое стрелков одновременно стреляют по мишени. Какова вероятность, что мишень будет поражена.

3.Баскетболист выполняет два штрафных броска . Вероятность успешного броска равна 70 %. Какова вероятность, что при двух бросках корзина:

a) не будет поражена ни разу

b) поражена только один раз

с) оба броска окажутся успешными.

4. В ящике 2 белых и 4 черных шара. Поочередно вынимаются два шара ( без возвращения в ящик). Найти вероятность того, что из случайно взятых шаров

a) оба вынутых шара окажутся белыми,

б) хотя бы один окажется белым,

с) оба шара окажутся черными.

5. Студент выучил 25 из 30 вопросов программы. Экзаменационный билет содержит два вопроса. Найти вероятность того, что:

a) cтудент ответит на оба вопроса.

б) студент ответит только на один вопрос,

с) не знает оба вопроса ( и экзамен не сдаст!),

d) он ответит хотя бы на один из вопросов в билете.

6. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающие датчика. Вероятность того, что при аварии датчик сработает составляет,

соответственно, 90%, 95% и 85% для каждого из них.

Найти вероятность того, что при аварии сработают:

1. все три датчика,

2. только два датчика,

3. только один датчик,

d) не сработает ни один из датчиков,

4. сигнал подаст хотя бы один из датчиков.

7. Среди студентов института - 30% первокурсники, 35% студентов учатся на втором курсе, на третьем и четвертом курсах их 20% и 15%, соответственно. По данным деканатов известно, что на 1-ом курсе 20% студентов сдали сессию на отлично, на 2-ом курсе их 30%, на 3-ем курсе -35% и на 4-ом курсе таковых 40%. Какова вероятность, что случайно зашедший в деканат студент окажется отличником? Какова вероятность , что он учится на 4-ом курсе?

8. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий контейнер. Производительность первого автомата вдвое выше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 1% бракованных деталей, а второй автомат- 1,5 %. Какова вероятность, что наудачу взятая с контейнера деталь окажется бракованной? Какова также вероятность, что эта бракованная деталь изготовлена 1-ым автоматом?

9. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% государственные органы , 25%- фирмы, остальные (65%) - физические лица. Вероятности того, что взятый кредит не будет возвращен в срок, составляют 0.01, 0.05, и 0.1, соответственно. Определить, какая доля кредитов , в среднем, не возвращается в срок. Наудачу проверенный кредит оказался невозвращенным в срок. Какова верояность, что он был запрошен фирмой?

10. Коммерсант, прибывший поездом в г.Новосибирск, может обратится за одно местным номером на неделю в одну из трех ближайших гостиниц. Вероятность, что он обратится в привокзальную гостиницу «Новосибирск» составляет 60%, в гостиницу «Обь» - 28%, а в гостиницу «Интурист» -12% ( из-за ее дороговизны). Вероятности того , что администрация гостиницы предоставит ему такой номер, составляют 25%, 30% и 60%, соответственно. Какова вероятность, что коммерсанту удастся снять желаемый номер в одной из этих трех гостиниц?

11. По статистике каждый десятый мужчина в зрелом возрасте – злостный курильщик. Вероятность того, что злостный курильщик заболеет раком составляет 10% , а некурящий ( или умеренно курящий) – намного меньше (1%). Некий мужчина заболел раком. Какова вероятность, что он относится к злостным курильщикам? Тот же вопрос, если мужчина получил инфаркт.

12. Студентка –заочница АУиЭ (специальность СКС) планирует посвятить воскресный вечер походу в театр. Вероятность того, что она пойдет в «оперу» - 25%, в драматический театр- 40%, а в театр музыкальной комедии -35%. Вероятности же купить билет непосредственно перед представлением (без предварительной заявки) составляют для этих театров 20%, 40% и 50%, соответственно. Какова вероятность, что в этот вечер ей удастся « культурно обогатится» ? Одна из студенток на следующий день сообщила в группе, что побывала в театре. Какова вероятность, что это был драмтеатр.

(Примечание: задачи 7÷12 на ф-лу полной вероятности и ф-лу Бейеса)