III. Исследование функции
Исследовать ф-цию [область определения, четность или нечетность, нули ф-ции, экстремумы ф-ции, области убывания и возрастания, наличие вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот и т.д.]. Построить (схематично) ее график.
1. y
=
; 2. y
=
; 3. y
=
;
4.
y =
;
5.
y=
;
6. y
=ln(x2-4);
7.
y
=x2
-
;
; 8.
y
=ln(9-x2);
9.
y=
;
10. y=
;
11.
y =
;
12. y =
;
13.
y= 2
;
14. y= 3
;
15. y=
;
16. y=
;
17.
y=
;
18. y
= 2∙ln( x2
-9);
19.
y
=x2
-
;
20.
y=
;
;
-
Функция двух переменных
Найти частные
производные ф-ции Z=Z(x,y)
1-го порядка
(
),
a
также
ее смешанную производную
(или же
)
1. Z=x2+xy+y2 ; 2. Z=2x2+3xy+y2 ; 3. Z= ln(5x2+3y2); 4. Z=ln( 3x2+5y2);
5. Z=5x2+6xy+y ; 6. Z=2x+3xy+y2 ; 7. Z=arctg(x2y) ; 8. Z=arctg(xy2);
9. Z= arctg(x/y); 10. Z= arctg(y/x); 11. Z= arcSin(x/y); 12. Z= arcSin(y/x);
13. Z=x2-xy+y2 ; 14. Z=x2-3xy+y2 ; 15. Z= ln(5x2-3y2); 16. Z=ln( 3x2-5y2);
17. Z=5x2-6xy+y ; 18. Z=2x-3xy-y2 ; 19. Z=arctg(xy) ; 20. Z=arcSin(xy);
Контрольная работа № 3
I-1. Найти неопределенный интеграл ∫f(x)dx
1. a)
f(x)= 2x3
–x+1/x;
б)
f(x)= Соs(2x-1);
в)
f(x)=
;
2. a)
f(x)= -x4
+2x2+Sin(3x);
б)
f(x)=
;
в)
f(x)=
;
3. a)
f(x)= 2/x
+3x2+4Cos(2x);
б)
f(x)= e2x+1;
в)
f(x)=
;
4.
a) f(x)= 2x2
–x+
;
б)
f(x)= x∙
Sin(x2-1);
в)
f(x)=
5.
a) f(x)= 2x3
–2+
;
б)
f(x)= x∙
Cos(x2);
в)
f(x)=x∙e2x
6.
a) f(x)= x2
–x
-
;
б)
f(x)= x
;
в)
f(x)=
7.
a) f(x)= x4
-2x2+Cos(3x);
б)
f(x)=x∙
;
в)
f(x)=
;
8.
a) f(x)= x-3
+
+Sin(3x);
б)
f(x)=lnx
; в)
f(x)=
;
9.
a) f(x)=
; б)
f(x)=
;
в)
f(x)= х∙lnx;
10.
a) f(x)= -
;
б)
f(x)=
;
в)
f(x)=x∙
I-2.
Вычислить определенный интеграл
f(x)dx
11. a)
f(x) = 2x3
–x+1/x
, a=1, b=2; б)
f(x)= 2x∙Sin(x2)
, a=0, b=
.
12.
a) f(x)= -x4
+2x2+Sin(3x),
a=0,b=π
; б)
f(x)=
,
a=0, b=2
.
13. a) f(x)= 2/x +3x2+Cos(2x), a=0,b=π; б) f(x)= e2x+1 , a=0, b=1/2.
14.
a) f(x)= 3x2
–x+
,
a=1,b=2;
б)
f(x)= x∙
Sin(x2+π);
a=0,
b=
.
15.
a) f(x)= 2x3
–2+
,
a=1, b=8;
б)
f(x)= x∙
Cos(x2+π);
a=0,
b=
.
16.
a) f(x)= x2
–x
-
,
a=0,
b=4
; б)
f(x)= x
;
a=0,
b=1
.
17.
a) f(x)= x4
-2x2+Cos(3x);
a=0,b=π/6;
б)
f(x)=x∙
;
a=0,
b=1/2.
18.
a) f(x)= x-3
+
+Sin(πx),
a=1,
b=2
; б)
f(x)=
,
a=1, b=2.
19.
a) f(x)=
tg(πx),
a=2,
b=4;
б)
f(x)=
,
a=0,
b=
.
20.
a) f(x)= -
,
a=1,
b=3;
б)
f(x)=x∙
,
a=0,b=2.
II. Площади фигур. Длина кривой
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
1. y=3x2 +1, y=3x+7 2. y=2x2+2, y=4 3. y= -2x2 +6, y=8x
4. y=(x-1)2 +4, y=8 5. y=x2-3 , y=2x 6. y=2- (x+2)2 , y= - 8x-7
7. (y+2)2 =x- 4 , x=8 8. y=2+(x-4)2 , y=6 9. y=2- (x+2)2 , y= - 2
10.
y-1=
,
x=8
Вычислить площадь фигуры, заданной в полярных
координатах ρ= ρ(φ)
11. ρ= 2(1+Cosφ); 12. ρ= 3(1-Cosφ); 13. ρ= 2(2+Sinφ); 14. ρ= 4(3-Sinφ);
15. ρ= 2(3+2Cosφ);
Вычислить площадь одного лепестка розы, заданной уравнением
16. ρ= 4∙Cos2φ; 17. ρ= 3∙Sin2φ; 18. ρ= 2∙Cos3φ; 19. ρ= 2∙Sin3φ;
Вычислить
длину кардиоиды
20. ρ= 3(1-Cosφ); 21. ρ= 2(1+Cosφ); 22. ρ= 4(1-Sinφ); 23. ρ= 1/2(1+Sinφ);