§ 7. Дифференцирование функции, заданной параметрически

Бывают случаи, когда зависимость переменной от переменной не задана непосредственно, а вместо этого задана зависимость обеих переменных и от некоторой третьей, вспомогательной, переменной t (называемой параметром):

(1)

Считаем, что функции , определены на одном и том же промежутке .

Пусть точка и пусть в окрестности точки функции и имеют нужное количество конечных производных по переменной . Будем предполагать, что в и что функция строго монотонная в . Но тогда, как мы знаем, у функции существует обратная функция , определенная в окрестности точки (; — образ при отображении ).

Отметим, что функция в будет непрерывной, строго монотонной и имеющей конечную производную . Подставив в соотношение , получим

. (2)

Видим, что можно рассматривать как функцию независимой переменной х, а переменную считать промежуточным аргументом. По правилу дифференцирования сложной функции имеем: . Так как , то окончательно получаем

. (3)

Пример. Пусть

.

Имеем,

.

Значит

Чтобы найти , поступаем следующим образом. Замечаем, что функция параметрически задается уравнениями

где .

А тогда, по установленному выше (см. (3)), находим

.

В нашем примере

.

Аналогично, считая, что функция задана параметрически уравнениями

где ,

находим

и т. д. И вообще для любого получаем

.

§ 8. Основные теоремы дифференциального исчисления

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Если в точке имеет конечную или бесконечную, но определенного знака производную, то будем говорить, что функция в точке имеет определенную производную.

1. Теорема Ферма. Пусть функция определена на замкнутом промежутке и пусть в некоторой внутренней точке с этого промежутка (т. е. в точке ) принимает либо свое наибольшее, либо свое наименьшее значение. Тогда, если в этой точке с функция имеет определенную производную, то обязательно .

► Пусть, для определенности, в точке с принимает свое наибольшее значение. Тогда для всех будет .

1). Возьмем — любое, но такое, что и точка . Имеем . Значит,

,

и, следовательно, , т. е.

. (*)

2). Возьмем теперь — любое, но такое, что и точка . Имеем . Значит,

,

и, следовательно, , т. е.

. (**)

По условию функция в точке с имеет определенную производную. Поэтому правосторонняя и левосторонняя производные функции в точке с должны совпадать. Но из (*) и (**) следует, что осуществление соотношения возможно лишь тогда, когда и , т. е. когда . ◄

Геометрическая интерпретация теоремы Ферма состоит в том, что если в точке функция принимает наибольшее или наименьшее значение, то касательная к графику функции в точке параллельна оси Ох (см. рис. 4.9).

Замечание. Доказанная теорема неприменима, если функция принимает свое наибольшее или наименьшее значение на концах промежутка . Так, например, функция , рассматриваемая на промежутке , принимает в точке наименьшее значение, а в точке — наибольшее значение. Однако , (см. рис. 4.10).

Рис. 4.10.

Теорема неприменима и в том случае, когда функция принимает свое наибольшее или наименьшее значение во внутренней точке с промежутка , но не имеет в точке с определенной производной. Так, например, функции и , рассматриваемые в промежутке принимают в точке свое наименьшее значение. Однако, для функции имеем: , , а для функции имеем: , (см. рис. 4.11 и 4.12).

Рис. 4.11. Рис. 4.12.

2. Теорема Ролля. Пусть функция удовлетворяет условиям:

1. определена и непрерывна на замкнутом промежутке ;

2. имеет определенную производную хотя бы в открытом промежутке ;

3. принимает равные значения на концах промежутка, т. е. .

Тогда между точкой а и точкой b найдется, по крайней мере, одна точка с, в которой производная функции обращается в нуль, т.е. .

► По условию функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке . Значит, достигает в этом промежутке как своего наибольшего , так и своего наименьшего значений. Значит, для всех будет:

. (1)

Могут реализоваться два случая: 1) и 2) .

1). Если , то из неравенства (1) следует, что все значения функции в промежутке равны между собой, т. е. , , и, следовательно, для всех .

2). Если . В этом случае хотя бы одно из двух значений или функция принимает во внутренней точке с промежутка (так как иначе, ввиду того, что , мы имели бы, что , а это не так). Видим, что у нас выполнены все условия теоремы Ферма. Значит, . ◄

Геометрически теорема Ролля означает следующее: если крайние ординаты графика функции равны, то на кривой обязательно найдется точка, где касательная параллельна оси Ох (см. рис. 4.13).

Обращаем внимание на то, что непрерывность функции на замкнутом промежутке и существование определенной производной во всем открытом промежутке существенны для верности заключения теоремы.

Функция в промежутке удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, за исключением того, что имеет разрыв в точке

Имеем для всех , т. е. не обращается в нуль ни в одной точке промежутка .

Функции и , рассматриваемые в промежутке , удовлетворяют всем условиям теоремы Ролля, за исключением того, что в точке не имеют определенной (двусторонней) производной.

Для функции имеем: , если , и , если => для .

Для функции имеем: для (см. рис. 9 и 10).

Точно так же существенно и условие 3) теоремы: . Функция в промежутке ] удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, за исключением условия 3): . Для функции имеем: для всех => не обращается в нуль ни в одной точке промежутка .

Частный случай (теоремы Ролля). Пусть функция удовлетворяет условиям:

1. определена и непрерывна на замкнутом промежутке ;

2. дифференцируема во всех точках в открытого промежутка ;

3. обращается в нуль на концах промежутка, т. е. .

Тогда существует хотя бы одна точка , в которой производная обращается в нуль.

Короче: между двумя нулями дифференцируемой функции всегда лежит хотя бы один нуль ее производной.

3. Теорема Лагранжа. Пусть функция удовлетворяет условиям:

1. определена и непрерывна на замкнутом промежутке ;

2. имеет определенную производную хотя бы в открытом промежутке ;

Тогда между точкой а и точкой b найдется, по крайней мере, одна точка с такая, в которой имеет место равенство:

.

► Для доказательства введем в рассмотрение вспомогательную Функцию

.

Отметим, что:

1. определена и непрерывна на замкнутом промежутке , ибо определена и непрерывна на ;

2. имеет определенную производную

хотя бы в открытом промежутке , ибо в существует определенная производная ;

3. .

Видим, что функция удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля. Следовательно, между точкой а и точкой b обязательно найдется хотя бы одна точка с такая, что будет , т. е.

,

а значит, . ◄

Полученную формулу называют формулой конечных приращений Лагранжа. Приведем другие формы записи формулы Лагранжа.

1. , где . (*)

Заметим, что формуле (*) можно придать и такой вид:

,

откуда следует несущественность того, будет ли или, наоборот, .

2. Пусть . Из каждого члена этого неравенства вычтем а. Получим . Так как , то все члены последнего неравенства можно поделить на . Будем иметь .

Обозначим (это — обычное обозначение величины, лежащей между 0 и 1). Отсюда . Поэтому формулу Лагранжа можно записать в виде

.

3. Рассмотрим промежуток , т. е. положим , . Тогда , и формула Лагранжа запишется в виде

.

Следствие из теоремы Лагранжа. Пусть функция определена и непрерывна в окрестности точки . Пусть имеет конечную производную в проколотой окрестности точки . Тогда, если существует конечный или бесконечный предел , то существует и производная , равная этому пределу.

► Дадим приращение — любое, но такое, что и точка . В промежутке применим к функции теорему Лагранжа. Будем иметь

,

откуда .

Если положить , то очевидно, что , если , причем . Поэтому

.

Это означает, что существует, и справедливо равенство

. ◄

4. Теорема Коши. Пусть имеются две функции и , удовлетворяющие следующим условиям:

1. и определены и непрерывны на замкнутом промежутке ;

2. и имеют конечные производные и хотя бы в открытом промежутке ;

3. для всех : .

Тогда между точками а и b обязательно найдется по крайней мере одна точка с такая, в которой имеет место равенство

.

► Заметим сначала, что . Действительно, если предположить, что , то функция g(x) будет удовлетворять всем трем условиям теоремы Ролля, и тогда по этой теореме между точками a и b обязательно найдется хотя бы одна точка такая, что будет . А это невозможно, ибо по условию для всех .

Введем в рассмотрение вспомогательную функцию

. (*)

Замечаем, что:

1) определена и непрерывна на замкнутом промежутке , ибо и определены и непрерывны на

2) имеет конечную производную

хотя бы в открытом промежутке , ибо в существуют конечные производные и ;

3) (в этом убеждаемся непосредственной подстановкой в выражение (*) для значений и ).

Видим, что функция удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля. Следовательно, между точками а и b обязательно найдется хотя бы одна точка с такая, что будет , т. е.

,

а значит,

. ◄

Установленная формула называется формулой Коши.

Замечание 1. В условии 2) теоремы можно допустить, что и могут принимать в промежутке и бесконечные, но определенного знака, значения. Только эти бесконечные значения они не должны принимать в одной и той же точке.

Замечание 2. Формула конечных приращений Лагранжа является частным случаем формулы Коши, когда , .

Замечание 3. Формула Коши, так же как и формула Лагранжа, имеет место не только когда , но и в случае, когда .