2. Неопределенность вида .

Теорема 2. Пусть функции и :

1) определены в промежутке (а — конечное число, );

2) имеют конечные производные и в , причем в ;

3) ; .

Тогда, если существует конечный или бесконечный (определенного знака) предел

,

то к тому же пределу при стремится и отношение (т.е. ).

Замечание. Здесь не исключаются случаи, когда — несобственное число .

Замечание. И в этом случае, если не существует предел отношения производных, то это вовсе не означает, что не существует и предел отношения самих функций.

(Принимаем без доказательства.)

§ 11. Признаки постоянства, возрастания и убывания функций

Теорема 1 (признак постоянства функции). Пусть функция определена и непрерывна в некотором промежутке Х и имеет внутри этого промежутка конечную производную . Для того, чтобы имела в промежутке постоянное значение, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках х, лежащих внутри X, было: .

► Необходимость. Пусть . Тогда для любого х, лежащего внутри X, будет .

Достаточность. Дано: для всех х, лежащих внутри X. Требуется доказать, что . Возьмем в промежутке любую точку х₀ и закрепим ее. Пусть х — любая другая точка из промежутка X.

Замечаем, что в промежутке функция удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа. Но тогда между точками х₀ и х обязательно найдется точка с такая, что будет

. (1)

Так как точка с лежит между точками х₀ и х, то точка с лежит внутри промежутка X. По условию для всех х, лежащих внутри X. Значит, в частности, . А тогда из (1) получаем , т. e.

. (2)

Так как в соотношении (2) точка х — любая из промежутка X, то заключаем, что . ◄

Следствие. Пусть имеются две функции и , и пусть:

1) и определены и непрерывны в промежутке X;

2) и имеют внутри промежутка X конечные производные и ;

3) во всех точках х внутри промежутка X: .

Тогда во всем промежутке X функции и отличаются друг от друга на постоянную величину.

► Введем в рассмотрение функцию . Имеем:

1. определена и непрерывна в промежутке X;

2. имеет внутри X конечную производную ;

3. во всех точках х внутри X: .

Видим, что функция удовлетворяет всем условиям теоремы 1. Следовательно, , , т. е. , . ◄

Теорема 2 (признак возрастания и убывания функции в широком смысле). Пусть:

1) функция определена и непрерывна в промежутке X;

2) имеет внутри промежутка X конечную или бесконечную (определенного знака) производную .

При этих условиях:

I. Для того чтобы была возрастающей (в широком смысле) в промежутке X, необходимо и достаточно, чтобы для всех х внутри X было: .

II. Для того чтобы была убывающей (в широком смысле) в промежутке X, необходимо и достаточно, чтобы для всех х внутри X было: .

► Докажем утверждение I (утверждение II доказывается аналогично).

Необходимость. Дано: функция в промежутке возрастает (в широком смысле). Требуется доказать, что внутри промежутка X.

Возьмем внутри промежутка X любую точку х. Дадим этому х приращение — любое, но такое, что и точка . Если , то , а значит, , т. е. . Но тогда , и, следовательно, , т. е. .

Если , то , а значит, . Но тогда , и, следовательно, , т. е. .

По условию в точке х существует производная функции в обычном смысле. Следовательно, . Значит, . Так как точка х была любой, лежащей внутри X, то заключаем, что внутри промежутка X.

Достаточность. Дано: внутри промежутка X. Требуется доказать, что возрастает (в широком смысле) в промежутке X.

В промежутке X возьмем две точки и — любые, но такие, что . Рассмотрим промежуток . Заметим, что и что на промежутке функция удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа. ( определена и непрерывна на и имеет в промежутке конечную или бесконечную определенного знака производную .) По теореме Лагранжа, имеем , где — некоторая точка из . Так как по условию и так как , то , т. е. .

Итак, для любых двух точек и из X, из того, что , следует, что . Значит, функция возрастает (в широком смысле) в промежутке X. ◄

Теорема 3 (признак строгого возрастания и строгого убывания функции). Пусть:

1) функция определена и непрерывна в промежутке X;

2) имеет внутри промежутка X конечную или бесконечную (определенного знака) производную .

При этих условиях:

I. Для того чтобы была строго возрастающей в промежутке X, необходимо и достаточно выполнение еще следующих двух условий:

а) для всех х внутри X должно быть ;

б) внутри X не существует такого интервала , во всех точках которого .

П. Для того, чтобы была строго убывающей в промежутке X, необходимо и достаточно выполнение еще следующих двух условий:

а) для всех х внутри должно быть ;

б) внутри Х не существует такого интервала , во всех точках которого .

Докажем утверждение I (утверждение II доказывается аналогично).

► Необходимость. Дано: функция строго возрастающая в промежутке X. Требуется доказать необходимость выполнения условий а) и б).

Необходимость условия а) показывается так же, как и при доказательстве теоремы 2. Установим необходимость условия б).

Предположим, что условие б) не выполнено. Но тогда внутри X существует промежуток , во всех точках которого и, следовательно, по теореме 1 будет для , т. е. не будет строго возрастающей в промежутке (ибо, например, , a ).

Вывод: выполнение условия б) необходимо для строгого возрастания функции в промежутке X.

Достаточность. Дано: для функции выполнены условия а) и б). Требуется доказать, что строго возрастающая в промежутке X.

Если выполнено условие а), то по теореме 2 функция возрастает (по крайней мере, в широком смысле) в промежутке X. Надо показать теперь, что выполнение еще и условия б) обеспечивает строгое возрастание в промежутке X.

Рассуждаем от противного. Предположим, что несмотря на выполнение условий а) и б) в промежутке X имеются точки и (пусть, для определенности, ) такие, что . Возьмем любое х, удовлетворяющее условию: . Так как по условию а) возрастает (по крайней мере, в широком смысле) в промежутке X, то из неравенства следует неравенство

. (*)

Так как, по предположению, , то из соотношения (*) следует, что для всех . Но тогда, по теореме 1, , для всех . У нас, по условию, внутри промежутка Х не может существовать интервала , во всех точках которого . Следовательно, получили противоречие. Значит, предположение, что неверно. Отсюда заключаем, что должно быть . ◄

Замечание. Не следует думать, что при строгом возрастании (или строгом убывании) функции в промежутке X будет обязательно (или ) во всех точках внутри промежутка X. Например, функция , строго возрастает на всем бесконечном промежутке , и, тем не менее, обращается в нуль при .

И для строго возрастающих, и для строго убывающих функций производная в отдельных точках может обращаться в нуль (но именно в отдельных точках, не заполняющих никакого, хотя бы и малого промежутка).