12. Формула для приращения функции.

Пусть функция определена в промежутке Х и пусть х₀ — некоторая точка из X, в которой существует конечная производная . Дадим приращение — любое, но такое, что и точка . Положим

. (*)

Ясно, что зависит от , т. е. , и что

.

Из соотношения (*) находим

,

или

. (**)

Формула (**) и есть формула для приращения функции.

Замечание. Формула (**) установлена для , ибо она выведена из (*), а соотношение (*) теряет смысл при . Если мы сами любым образом доопределим функцию в точке (например, положим или и т. д.), то формула (**) окажется верной и для . Условимся раз и навсегда полагать . Тогда формула (**) будет верной как для , так и для и соотношение будет верно независимо от того, по какому закону (хотя бы и принимало значение нуль).

13. Правило дифференцирования сложной функции.

Пусть функция определена в промежутке , а функция определена в промежутке X и такая, что если то . Тогда для имеет смысл выражение ( — сложная функция). Предположим, что в точке существует конечная производная , а в точке () существует конечная производная . Покажем, что существует конечная и найдем ее.

Дадим х₀ приращение — любое, но такое, что и точка . Тогда функция получит приращение

(не исключено, что ).

Так как , то приращению отвечает приращение

.

По формуле приращения функции (**) (см. пункт 12)

,

где при . А тогда

,

Пусть . Но тогда (ибо функция дифференцируемая в точке х₀, а значит и непрерывная в точке х₀). А, следовательно, и при . Значит,

,

т. е. . Показано, таким образом, что существует конечная и что (короче: ).

Правило цепочки. Производная сложной функции по независимой переменной равна ее производной по промежуточной переменной, умноженной на производную промежуточной переменной по независимой переменной. (Здесь — промежуточная переменная).

Пример.

1) , где .

Имеем .

Правило. Если для получения значения нужно произвести над х много действий, то для применения правила цепочки следует обозначить через результат всех этих действий, кроме последнего. Например,

1. если , то , где ;

2. если , то , где ;

3. если , то , где .

Пример.

1) Пусть , тогда .

14. Правила дифференцирования обратных функций.

Пусть функция определена в промежутке и является там строго монотонной и непрерывной. Было показано ранее, что тогда у функции имеется обратная функция , определенная в промежутке , причем эта функция в промежутке также строго монотонная и непрерывная. (Здесь есть множество значений, принимаемых функцией на промежутке ). Пусть у функции в точке существует конечная отличная от нуля производная . Покажем, что тогда у функции в соответствующей точке также существует конечная производная, причем (короче: ).

► Дадим приращение — любое, но такое, что и точка . Тогда функция получит приращение

.

Отметим, что в силу строгой монотонности функции

, если .

Отметим далее, что в силу непрерывности функции

, если .

Имеем очевидное равенство . Перейдем в этом равенстве к пределу при . Получим

.

По условию — существует конечный, отличный от нуля. Но тогда существует конечный , т. е. существует , причем . ◄

Итак, производные взаимно-обратных функций есть величины взаимно-обратные.

Исходя из этого, можно получить формулы для производных обратных тригонометрических функций.

15. .

► Эта функция является обратной для функции , которая для имеет конечную отличную от нуля производную . Но тогда функция для имеет конечную производную, причем . Перед радикалом взят знак «+», ибо для . Так как , то получаем окончательно

, т. е.

Отметим, что значения были исключены, т. к. для соответствующих значений : . ◄

16. .

► Эта функция является обратной для функции , которая для имеет конечную отличную от нуля производную . Но тогда функция для имеет конечную производную, причем . Перед радикалом взят знак «+», ибо для . Так как , то получаем окончательно

, т. е.

И здесь значения были исключены, т. к. для соответствующих значений и : . ◄

17. .

► Эта функция является обратной для функции , которая для имеет конечную отличную от нуля производную . Но тогда функция для имеет конечную производную, причем . Так как , то получаем окончательно

, т. е. ◄

18. .

► Эта функция является обратной для функции , которая для имеет конечную отличную от нуля производную . Но тогда функция для имеет конечную производную, причем . Так как , то получаем окончательно

, т. е. ◄