§ 4. Дифференциал функции

1. Определение дифференциала. Пусть функция определена в некотором промежутке X и пусть точка . Дадим значению х₀ аргумента приращение — любое, но такое, что и точка . Пусть есть приращение функции в точке х₀, соответствующее приращению аргумента. Мы знаем, что если функция имеет в точке х₀ конечную производную , то приращение функции представимо в виде

, (1)

где .

Замечаем, что если , то первое слагаемое в правой части формулы (1) пропорционально величине или, как говорят, линейно зависит от . Так как в этом случае , то упомянутое слагаемое является при бесконечно малой того же порядка, что и .

Второе слагаемое правой части (1) при является бесконечно малой более высокого порядка, чем , ибо

.

Полагаем

(2)

и называем эту величину дифференциалом функции в точке х₀.

Таким образом, дифференциалом функции в точке х₀ называется произведение производной, вычисленной в этой точке, на приращение независимой переменной.

Дифференциалом независимой переменной х называют ее приращение, т. е. полагают . Следовательно, вместо равенства (2) можно писать

. (3)

Из равенства (3), разрешая его относительно , находим

. (4)

Тем самым символ может рассматриваться как обычная дробь, знаменатель которой есть , а числитель — .

Вернемся снова к формуле (1). Если , т. е. при , то

.

Значит, в случае, когда , приращение функции и ее дифференциал оказываются эквивалентными бесконечно малыми при . Поэтому в этом случае вполне оправдано приближенное равенство

. (5)

Ясно, что приближенное равенство (5) тем точнее (как в смысле абсолютной, так и в смысле относительной погрешности), чем меньше .

Обычно структура дифференциала функции значительно проще структуры ее приращения , и поэтому формулой (5) широко пользуются в приближенных вычислениях. Например, для функции :

,

в то время как

.

Если взять , то

,

а

.

Таким образом, абсолютная ошибка

,

относительная ошибка

.

2. Геометрический смысл дифференциала.

Пусть имеется график (L) функции . Пусть значению х₀ аргумента х на кривой отвечает некоторая точка М₀. Проведем к кривой (L) в точке М₀ касательную М₀Т. Для углового коэффициента касательной мы знаем формулу .

При переходе от к ордината касательной получит приращение .

Таким образом, есть приращение ординаты точки, лежащей на касательной к кривой (L) в точке М₀, при переходе от х₀ к .

Отметим, что замена приращения функции дифференциалом равносильна переходу от заданной функциональной зависимости от х к линейной зависимости от х в достаточно малой окрестности точки х₀. При такой замене получающаяся погрешность оказывается бесконечно малой более высокого порядка, чем приращение аргумента.

3. Сводка формул для дифференциалов.

Поскольку дифференциал функции получается умножением производной этой функции на дифференциал независимой переменной dx, постольку операции на вычисление производной и дифференциала, с точки зрения техники вычислений, почти не отличаются друг от друга. Это позволяет нам из сводки формул для производных получить соответствующую сводку формул для дифференциалов.

Например, из формулы , умножив обе части на dx, получим

,

или

.

Поступая аналогичным образом и в иных случаях, найдем:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .