§ 3. Формулы и правила вычисления производных
1.
.
► Выберем и закрепим
любое
из промежутка
.
Дадим этому фиксированному х
приращение
— любое, но такое, что
.
Тогда
,
и, следовательно,
,
т. е.
для любого
из промежутка
.
Таким образом,
,
т. е. производная постоянной величины
равна нулю (точка дифференцирования —
любая). ◄
2.
.
► Выберем и закрепим
любое
из промежутка
.
Дадим этому фиксированному х
приращение
— любое, но такое, что
.
Тогда
,
и, следовательно,
,
т. е.
для любого
из промежутка
.
Таким образом,
,
т. е. производная независимой переменной
равна единице (точка дифференцирования
— любая). ◄
3.
,
где
— любое вещественное число.
Область определения
степенной функции зависит от
.
При целом
получается рациональная функция. При
дробном мы имеем здесь радикал. Например,
пусть
— натуральное число и
;
эта функция определена для всех значений
х,
если
— нечетное и лишь для неотрицательных
значений х
— при
четном (в этом случае мы имеем ввиду
арифметическое значение радикала).
Наконец, если
— иррациональное число, мы будем
предполагать
(
допускается лишь при
).
► В области
определения функции
берем любое значение
и закрепляем. Дадим этому фиксированному
х
приращение
— любое, но такое, что
и точка
.
Тогда
;
.
Так как
— бесконечно малая величина при
,
то
при
.
Поэтому
.
Таким образом,
,
и
.
◄
Замечание.
Если точка
принадлежит
,
то значение
легко получить непосредственно.
Частные случаи.
1)
;
.
2)
;
;
4.
.
► Возьмем любое
х
из промежутка
и закрепим. Дадим этому фиксированному
х
приращение
— любое, но такое, что
.
Тогда
;
.
Итак,
.
◄
5.
.
► Совершенно
аналогично предыдущему устанавливается,
что
,
.
◄
6.
.
► Возьмем любое
х
из промежутка
и закрепим. Дадим этому фиксированному
х
приращение
— любое, но такое, что
.
Тогда
.
Так как
при
,
то
.
Таким образом,
.
◄
Частный случай.
.
7. Простейшие правила вычисления производных.
I.
Пусть функции
определены в некотором промежутке X
и в точке
имеют конечные производные
.
Тогда функция
в указанной точке х
также имеет конечную производную, причем
.
► Дадим х,
отмеченному в условиях утверждения I,
приращение
— любое, но такое, что
и точка
.
Тогда функции
и
получат соответственно приращения
и
,
и их новыми значениями будут:
и
;
причем
и
.
Следовательно,
.
По условию,
существуют конечные
,
,
равные соответственно
.
А тогда
существует конечный, причем
.
◄
Замечание. Полученный результат может быть легко распространен на любое конечное число слагаемых.
II.
Пусть функции
определены в некотором промежутке X
и в точке
имеют конечные производные
.
Тогда функция
в указанной точке х
также имеет конечную производную, причем
.
► Дадим х,
отмеченному в условиях утверждения II,
приращение
— любое, но такое, что
и точка
.
Тогда функции
и
получат соответственно приращения
и
,
и их новыми значениями будут
и
.
А значит,
.
По условию существуют
конечные
,
,
равные соответственно
.
Кроме того,
,
ибо функция
дифференцируема в точке х,
а, следовательно, непрерывна в этой
точке (значит, бесконечно малому
приращению аргумента соответствует
бесконечно малое приращение функции).
А тогда
Замечание.
Если
,
причем
,
,
существуют конечные, то
.
И вообще, если
,
причем
,
,
,
…,
существуют конечные (и число сомножителей
— конечное число), то
.
Это соотношение устанавливается методом математической индукции.
III.
Пусть функции
определены в некотором промежутке X
и в точке
имеют конечные производные
.
Пусть
в этой точке
.
Тогда функция
в указанной точке
также имеет конечную производную, причем
.
► По условию
существует конечная
в точке
,
следовательно,
— непрерывная в точке х0.
По условию
,
следовательно, по теореме о стабильности
знака существует окрестность
точки х0
такая, что
и
,
.
Дадим х0,
отмеченному в условиях утверждения
III, приращение
— любое, но такое, что
и точка
.
Тогда функции
и
получат соответственно приращения
и
,
и их новыми значениями будут
и
.
А значит,
.
Заметим, что по условию:
;
.
А тогда
.
◄
8.
.
► Возьмем любое
х
из промежутка
и закрепим. Дадим этому фиксированному
х
приращение
— любое, но такое, что
и точка
.
Тогда
.
Так как
— бесконечно малая величина при
,
то
при
.
Поэтому
.
Таким образом,
.
◄
9.
.
► Имеем
◄
10.
;
определена всюду, за исключением точек
,
.
► Имеем
.
Следовательно, для
,
.
Итак,
,
если
,
.
◄
11.
;
определена всюду, за исключением точек
,
.
► Совершенно
аналогично предыдущему устанавливается,
что
,
если
,
.
◄