14. Показатели вариации

Вариацию можно определить как количественное различие значений одного и того же признака у отдельных единиц совокупности. Для измерения вариации признака используют как абсолютные, так и относительные показатели.

К абсолютным показателям вариации относят: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсию.

К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение и др.

Размах вариации R. Это самый доступный по простоте расчета абсолютный показатель, который определяется как разность между самым большим и самым малым значениями признака у единиц данной совокупности:

Размах вариации- важный показатель колеблемости признака, но он дает возможность увидеть только крайние отклонения, что ограничивает область его применения. Для более точной характеристики вариации признака на основе учета его колеблемости используются другие показатели.

Среднее линейное отклонение d, которое вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности. Эта величина определяется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений от средней. Так как сумма отклонений значений признака от средней величины равна нулю, то все отклонения берутся по модулю. При использовании показателя среднего линейного отклонения возникают определенные неудобства, связанные с тем, что приходится иметь дело не только с положительными, но и с отрицательными величинами, что побудило искать другие способы оценки вариации, чтобы иметь дело только с положительными величинами. Таким способом стало возведение всех отклонений во вторую степень. Обобщающие показатели, найденные с использованием вторых степеней отклонений, получили очень широкое распространение. К таким показателям относятся среднее квадратическое отклонение и среднее квадратическое отклонение в квадрате которое называют дисперсией. Дисперсия есть не что иное, как средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от его средней величины Кроме показателей вариации, выраженных в абсолютных величинах, в статистическом исследовании используются показатели вариации (V), выраженные в относительных величинах, особенно для целей сравнения колеблемости различных признаков одной и той же совокупности или для сравнения колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях.

Данные показатели рассчитываются как отношение размаха вариации к средней величине признака (коэффициент осцилляции), отношение среднего линейного отклонения к средней величине признака (линейный коэффициент вариации), отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака (коэффициент вариации) и, как правило, выражаются в процентах.

15. Мода, медиана, среднее и дисперсия в вариационных рядах.

Мода-наиболее часто встречающееся значение признаков.

Медиана-некоторое значение признака к-е делит статистический ряд на 2 равные части по количеству значений.

Дисперсия в статистике находится как среднее квадратическое отклонение индивидуальных значений признака в квадрате от средней арифметической. В зависимости от исходных данных она определяется по формулам простой и взвешенной дисперсий:

1. Простая дисперсия (для несгруппированных данных) вычисляется по формуле:

2. Взвешенная дисперсия (для вариационного ряда):

где n - частота (повторяемость фактора Х)

Свойства дисперсии:

1)если все значения признака уменьшить или увеличить на одну и ту же постоянную

величину А, то дисперсия от этого не изменится; 2)если все значения

признака уменьшить или увеличить в одно и то же число раз (i раз), то дисперсия

соответственно уменьшится или увеличится в i² раз.

Сре́днее — числовая характеристика множества чисел или функций; — некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим из их значений.

сре́днее арифмети́ческое (или просто среднее) набора чисел — это сумма всех чисел в этом наборе, делённая на их количество.

Среднее квадратическое отклонение - это квадратный корень из дисперсии, он удобен тем, что имеет ту же размерность, что и исходные величины.

• Методика расчета простой средней арифметической

1. Суммировать варианты: V1+V2+V3+...+Vn = Σ V;

2. Сумму вариант разделить на общее число наблюдений: М = Σ V / n

• Методика расчета взвешенной средней арифметической

1. Получить произведение каждой варианты на ее частоту — Vp

2. Найти сумму произведений вариант на частоты: V1p1 + V2p2+ V3p3 +...+ Vnpn = Σ Vp

3. Полученную сумму разделить на общее число наблюдений: М = Σ Vp / n

• Методика расчета среднеквадратического отклонения

1. Найти отклонение (разность) каждой варианты от среднеарифметической величины ряда (d = V — М);

2. Возвести каждое из этих отклонений в квадрат (d2);

3. Получить произведение квадрата каждого отклонения на частоту (d2р);

4. Найти сумму этих отклонений: d21p1 + d22p2 + d23p3 +...+ d2npn = Σ d2р;

5. Полученную сумму разделить на общее число наблюдений (при n < 30 в знаменателе n-1): Σ d2р / n

6. Извлечь квадратный корень: σ = √Σ d2р / n при n < 30 σ = √Σ d2р / n-1