- •010700 Физика
- •1. Цели освоения дисциплины
- •2. Место дисциплины в структуре ооп бакалавриата
- •3. Требования к результатам освоения содержания дисциплины
- •4. Структура и содержание дисциплины (модуля)
- •5. Содержание разделов (тем) дисциплины
- •Раздел 1. Понятие линейного векторного пространства.
- •Раздел 2. Общие системы линейных уравнений. Однородные системы.
- •Раздел 3. Линейная зависимость и независимость векторов. Ранг и базис векторов.
- •Раздел 4. Матрицы.
- •Раздел 5. Определители.
- •Раздел 6. Элементы векторной алгебры в аналитической геометрии.
- •Раздел 7. Координатный метод в геометрии.
- •Раздел 8. Прямая и плоскость.
- •Раздел 9. Кривые и поверхности второго порядка.
- •Раздел 10. Подпространства линейного пространства. Изоморфизм векторных пространств.
- •Раздел 11. Линейные операторы.
- •Раздел 12. Евклидово пространство (вещественное и комплексное).
- •Раздел 13. Линейные операторы, действующие в евклидовом пространстве.
- •Раздел 14. Билинейные и квадратичные формы.
- •Раздел 15. Элементы теории групп.
- •6. Образовательные технологии:
- •7. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
- •I семестр
- •II семестр
- •Вопросы к коллоквиумам
- •I семестр
- •II семестр
- •Примерные варианты контрольных работ
- •I семестр (3 варианта из 6)
- •II семестр (2 варианта из 10)
- •8.Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля)
- •9. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)
- •2.Тематические тесты алгебре и аналитической геометрии
- •1. Матрицы и определители Тест1.
- •2. Системы линейных уравнений Тест 1
- •3. Векторная алгебра Тест 1
- •4. Прямая линия на плоскости Тест 1
- •1. Укажите, какие из следующих уравнений определяют прямую линию:
- •Прямая в пространстве Тест 1
- •Лабораторная работа
- •Ход выполнения работы
- •11. Вывод уравнения прямой по двум точкам
- •1V. Вывод уравнений прямой линии в пространстве
- •V. По результатам проведенного исследования заполните следующую таблицу. Различные уравнения прямой на плоскости и в пространстве
- •Дидактические материалы для организации самостоятельной работы студентов физического факультета по дисциплине « Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1. Литература, рекомендуемая для изучения дисциплины
- •1.1. Основная литература
- •1.2. Дополнительная литература
- •2. Содержание курса линейной алгебры и аналитической геометрии
- •3. Задания для самостоятельной работы на первый семестр
- •3.1.Темы для самостоятельного изучения
- •3.2. Вопросы к коллоквиуму
- •3.3. Индивидуальная домашняя контрольная работа №1
- •3.4. Индивидуальная домашняя контрольная работа №2
- •3.5.Примерные варианты контрольной работы по аналитической геометрии Варианты № 1
- •Вариант №2
- •Вариант №3
- •4. Задания для самостоятельной работы на второй семестр
- •4.1. Темы для самостоятельного изучения
- •4.2. Вопросы к коллоквиуму
- •4.3. Индивидуальное домашнее задание № 3
- •5.4. Примерные варианты 20 - минутной самостоятельной работы по теме "Линейные преобразования"
- •5.5 Примерные варианты контрольной работы по линейной алгебре
- •6. Программа экзамена по курсу "аналитическая геометрия и линейная алгебра"
- •I семестр
- •II семестр
II семестр
-
Подпространства линейного векторного пространства, их пересечение и сумма. Примеры. Теорема о размерности суммы двух подпространств.
-
Прямая сумма подпространств. Линейная оболочка системы векторов.
-
Понятие базиса векторного пространства и координат вектора. Преобразование координат векторов при переходе к новому базису.
-
Понятие линейного оператора. Примеры линейных операторов. Простейшие свойства. Матрица линейного оператора.
-
Арифметические операции над линейными операторами и их свойства.
-
Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
-
Ядро и образ линейного оператора. Ранг и дефект. Теорема о взаимосвязи между размерностями подпространств и .
-
Инвариантные подпространства линейного оператора. Разложение пространства в прямую сумму инвариантных относительно некоторого оператора подпространств.
-
Понятие собственного вектора линейного оператора. Характеристический многочлен и собственные значения линейного оператора.
-
Свойства собственных векторов линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора (понятие).
-
Понятие евклидова пространства над полем вещественных чисел (комплексных чисел). Примеры евклидовых пространств. Длина векторов угол между двумя векторами.
-
Ортогональный базис евклидова пространства. Теорема о линейной независимости попарно ортогональных векторов данной системы. Процесс ортогонализации построения ортогональных векторов.
-
Ортогональные подпространства евклидова пространства. Необходимое и достаточное условие ортогональности 2-х подпространств. Теорема о пересечении двух взаимно ортогональных подпространств.
-
Ортогональное дополнение подпространства , его построение. Ортогональная проекция вектора на подпространство.
-
Понятие билинейной формы. Матрица билинейной формы, ее изменение при переходе к новому базису. Ранг билинейной формы.
-
Симметрическая и кососимметрическая билинейные формы. Необходимое и достаточное условие симметричности (кососимметричности). Теорема о представлении любой билинейной формы в виде суммы симметрической и кососимметрической билинейных форм.
-
Квадратичная форма, ее матрица. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов (теорема).
-
Каноническая форма квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Положительно- и отрицательно-определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.
-
Билинейные и квадратичные формы в комплексном евклидовом пространстве. Изменение матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Эрмитовы билинейные и квадратичные формы.
-
Понятие оператора, сопряженного к данному. Матрица сопряженного оператора. Свойства операции сопряжения.
-
Самосопряженный оператор, его матрица, свойства.
-
Каноническая форма матрицы самосопряженного оператора, в евклидовом пространстве.
-
Унитарный оператор, его свойства. Канонический вид матрицы.
-
Ортогональный оператор, его свойства и матрица.
-
Ортогональные операторы, действующие в одномерном и двумерном евклидовых пространствах
Примерные варианты экзаменационных билетов (I семестр)
Билет № 1
1. Понятие вектора в геометрии; основные характеристики вектора, способы его задания, изображение; равные векторы, свойства отношения равенства векторов. Сложение векторов, свойства операции.
2. Правило Крамера решения системы линейных уравнений.
3. Решить матричное уравнение .
4. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки Р(3, 13, 7) на прямую и найти его длину.
5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности
Билет № 2
1. Умножение вектора на число, свойства операции. Коллинеарные векторы, необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов. Базис системы коллинеарных векторов. Понятие координат вектора относительно базиса.
2. Строчечный и столбцовый ранги матрицы, их неизменность при элементарных преобразованиях матрицы.
3. Вычислить определитель
.
4. Составить параметрические уравнения проекции прямой , , на плоскость .
5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности
Билет № 3
1. Компланарные векторы, необходимое и достаточное условие компланарности векторов. Базис системы компланарных векторов. Понятие координат вектора относительно базиса.
2. Теорема о совпадении строчечного и столбцового рангов матрицы. Понятие ранга матрицы.
3. Решить систему методом Жордана-Гаусса
4. Точка А(3, 5) лежит на гиперболе, фокус которой имеет координаты (2, 3), а соответствующая директриса дана уравнением . Составить уравнение этой гиперболы.
5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .
Билет № 4
1. Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам пространства. Понятие базиса системы векторов пространства и координат вектора в нем. Операции над векторами в координатах.
2. Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений.
3. Вычислить определитель
.
4. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину С(4, 1), а также уравнения высоты и медианы , проведенных из одной вершины.
5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .
Билет № 5
1.Скалярное произведение векторов, его свойства, вычисление по координатам в прямоугольном декартовом базисе, приложения в геометрии и физике.
2. Правило Жордана-Гаусса исключения переменой из всех уравнений кроме одного. Приведение системы к единичному базису.
3. Найти какой-нибудь базис системы векторов и небазисные векторы разложить по базисным , , , .
4. Найти ортогональную проекцию точки Р(1, 3, 5) на прямую
5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .
Билет № 6
1. Векторное произведение векторов, его свойства, вычисление по координатам в прямоугольном декартовом базисе, приложения в геометрии и физике.
2. Понятие системы линейных уравнений и ее решения. Совместные и несовместные системы, определенные и неопределенные. Элементарные преобразования системы и их свойство.
3. Определить, являются ли векторы линейно зависимыми; найти ранг системы векторов , , , , .
4. Найти точку, симметричную точке Р(13, 4, 6) относительно плоскости, проходящей через прямую , , и точку О(0, 0, 0).
5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .
Билет № 7
1.Смешанное произведение трех векторов, его свойства, вычисление по координатам в прямоугольном декартовом базисе, приложения в геометрии и физике.
2. Однородная система линейных уравнений и свойства ее решений. Связь решений неоднородной системы и соответствующей ей однородной.
3. Найти матрицу, обратную для матрицы .
4. Найти точку, симметричную точке Р(1, 3, 5) относительно прямой
5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .
Билет № 8.
1. Понятие аффинной и прямоугольной декартовой систем координат на плоскости и в пространстве. Координаты точки относительно системы координат. Решение простейших задач аналитической геометрии в пространстве: вычисление координат вектора по координатам его конца и начала, деление отрезка в данном отношении, координаты центра тяжести системы материальных точек.
2. Понятие обратной матрицы. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы для квадратной матрицы.
3. Решить систему, используя правило Крамера
4. По данному эксцентриситету определить угол между асимптотами гиперболы.
5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .
Билет № 9
1. Полярная система координат, ее связь с прямоугольной декартовой. Сферические и цилиндрические координаты
2. Свойства определителей.
3. Найти все базисы системы векторов: , , , .
4.Найти точку, симметричную точке Р (3, 4, 6) относительно плоскости, проходящей через точки М1(6, 1, 5), М2(7, 2, 1), М3(10, 7, 1).
5.Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .
Билет № 10
1. Различные уравнения прямой линии на плоскости и в пространстве: параметрические и канонические по точке и направляющему вектору, по двум точкам.
2. Понятие определителя квадратной матрицы. Минор и алгебраическое дополнение элемента. Правило Лапласа разложения определителя по элементам какой-либо строки (столбца).
3. Исследовать и решить систему
4. Гипербола имеет асимптоты и директрисы . Написать каноническое уравнение гиперболы.
5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .
Билет № 11
1. Общее уравнение прямой линии на плоскости, геометрический смысл его коэффициентов в прямоугольной декартовой системе координат. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
2. Ранг системы векторов, его свойства. Понятие размерности линейного пространства.
3. Решить систему, используя правило Крамера
4. Найти ортогональную проекцию вектора а (14, 2, 5) на прямую
5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .
Билет № 12
1. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору. Уравнение прямой в отрезках.
2. Понятие линейного векторного пространства. Пространство Rn как пример линейного пространства, другие примеры линейных пространств.
3. Чему равен ранг матрицы при различных значениях :
4. Доказать, что прямые и скрещиваются и найти расстояние между ними.
5. Определить а) вид кривой . б) вид поверхности .
Билет № 13
1. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расположение прямой относительно системы координат. Угол между прямыми, лежащими в плоскости.
2. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов, примеры. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов.
3. Доказать, что если для матриц А и В оба произведения АВ и ВА существуют, причем АВ ВА, то матрицы А и В квадратные и имеют одинаковый порядок.
4. Доказать, что прямые и параллельны и написать уравнение плоскости, в которой они лежат.
5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .
Билет № 14
1. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Расстояние между параллельными прямыми.
2. Зависимые и независимые векторы пространства Rn.
3. Доказать утверждение: для того, чтобы квадратная матрица была перестановочна со всеми квадратными матрицами того же порядка, необходимо и достаточно, чтобы эта матрица была скалярной.
4.Даны вершины треугольника АВС: А(1,1, 2), В(5, 6, 2), С(1, 3, 1). Написать уравнение плоскости, в которой лежит треугольник, и вычислить длину высоты этого треугольника, опущенной из вершины В.
5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .
Билет № 15
1. Различные уравнения плоскости: параметрические по точке и двум направляющим векторам, по трем точкам. Общее уравнение плоскости.
2. Понятие базиса системы векторов. Теорема о двух различных базисах одной и той же системы.
3. Записать систему в матричном виде и решить с помощью обратной матрицы:
4. Составить уравнение эллипса, если его эксцентриситет , фокус F (- 4, 1) и уравнение соответствующей фокусу директрисы .
5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .
Билет № 16
1. Взаимное расположение двух и трех плоскостей. Прямая, как линия пересечение двух плоскостей.
2. Умножение матриц, свойства операции.
3. Пусть система векторов – линейно независима. Является ли линейно независимой система векторов , , .
4. Составить уравнения сторон треугольника АВС, если даны одна из его вершин В (4, 5) и уравнения двух его высот и . Найти длину высоты этого треугольника, опущенную из вершины В.
5. Определить а) вид кривой ;
б) вид поверхности .
Билет № 17
1. Взаимное расположение прямой и плоскости; угол между прямой и плоскостью.
2. Сложение матриц и умножение матрицы на число, свойства этих операций.
3. Определить, линейно зависима или независима следующая система многочленов: f1(t) = 1 t2, f2(t) = 1 t3, f3(t) = t t3, f4(t) = 1 t t2 t3.
4. Даны уравнения двух сторон треугольника и и уравнение одной из его медиан . Составить уравнение третьей стороны.
5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .
Билет № 18
1. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
2. Свойства определителей.
3. Пусть и – произвольные векторы. Компланарны ли векторы , , .
4. Даны вершины треугольника: А(10, 13), В(2, 3), С(2,1). Вычислить длину перпендикуляра, опущенного из вершины В на медиану, проведенную из вершины С.
5. Определить а) вид кривой . б) вид поверхности .
Билет № 19
1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору. Расстояние от точки до плоскости в пространстве.
2. Понятие обратной матрицы, способы вычисления обратных матриц.
3. Вычислить определитель:.
4. Даны две противоположные вершины квадрата: А(1,3), С(6, 2). Составить уравнения его сторон.
5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .
Билет № 20
1. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Угол между плоскостями.
2. Свойства линейно зависимых и независимых систем векторов.
3. Решить матричное уравнение:
4. Дана вершина параболы А(2, 1) и уравнение ее директрисы . Составить уравнение этой параболы.
5. Определить а) вид кривой
б) вид поверхности .
Билет № 21
-
Эллипс, его каноническое уравнение и свойства.
2. Обратная матрица. Матричная запись системы линейных уравнений и ее решение с помощью обратной матрицы.
-
Используя правило Крамера, найти x2 из системы
-
Из начала координат опустить перпендикуляр на прямую .
5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .
Билет № 22
1. Гипербола, ее каноническое уравнение, свойства. Асимптоты гиперболы.
2. Понятие базиса системы векторов, теорема о единственности разложения вектора по базисным; понятие координат вектора в базисе. Операции над векторами в координатах.
-
Найти ранг матрицы .
4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (1, 2, 1) перпендикулярно к прямой Найти расстояние от точки М до заданной прямой.
5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности
Билет № 23
1. Парабола, ее каноническое уравнение, свойства.
2. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости.
-
Доказать, что матрица удовлетворяет уравнению .
4. Даны точки А(0, 0, 2), В(4, 0, 5), С(5, 3, 0) Д(1, 4, 2). Определить, лежат ли они в одной плоскости. Если они не лежат в одной плоскости, то найти высоту тетраэдра АВСД, опущенную из вершины А.
5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .
Билет № 24
1. Поверхности вращения: эллипсоид, гиперболоиды, параболоид.
2. Свойства линейно зависимых и независимых векторов.
3. В пространстве R4 найти два различных базиса, имеющих общие , .
4. Найти расстояние от точки Д(5, 4, 6) до плоскости, проходящей через точки А(2, 3, 1), В(4, 1, 2), С(6, 3, 7) и составить уравнение прямой, проходящей через точку Д перпендикулярно этой плоскости.
5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .
Билет № 25
1. Преобразование сжатия пространства к плоскости; канонические уравнения поверхностей второго порядка и их исследование метолом сечений.
2. Базис пространства Rn.
3. Найти общее и какое-нибудь частное решение системы:
4. Точка А(4, 5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой . Составить уравнение сторон и второй диагонали квадрата.
5. Определить а) вид кривой ; б) вид поверхности .
Примерные варианты экзаменационных билетов (II семестр)
Билет №1
1. Понятие базиса линейного пространства и координат вектора в нем. Преобразование координат векторов при переходе к новому базису.
2. Собственные значения унитарного оператора. Приведение матрицы унитарного оператора к каноническому базису.
3. Найти индексы инерции квадратичной формы. Определить, является ли она положительно определенной: .
Билет №2
1.Подпространства линейного векторного пространства, их пересечение и сумма, Примеры.
2. Определение и геометрический смысл унитарного оператора, свойства. Особенности матрицы унитарного оператора в ортонормированном базисе.
3. Определить вид поверхности второго порядка. Найти систему координат, в которой уравнение имеет канонический вид: .
Билет №3
1. Теорема о размерности суммы двух подпространств. Задача отыскания размерности суммы и пересечения двух подпространств.
2. Матрица самосопряженного оператора, собственные значения самосопряженного оператора, приведение его матрицы к каноническому виду
3.Привести квадратичную форму к каноническому виду, указать канонический базис: .
Билет №4
1. Прямая сумма подпространств. Необходимое и достаточное условие того, что сумма является прямой.
2. Самосопряженный линейный оператор, его свойства. Разложение линейного оператора в линейную комбинацию самосопряженных.
3. Выписать матрицу перехода от базиса к базису , если ,, ; , , . Найти координаты вектора в базисе , если в базисе он имеет координаты (-1, 0, 2).
Билет №5
1. Прямая сумма подпространств. Теорема о размерности прямой суммы подпространств и обратная к ней теорема.
2. Понятие оператора сопряженного к данному оператору. Доказательство существования. Правила сопряжения
3. Выяснить, является ли оператор линейным. Если является, то найти его матрицу, ранг, дефект, базис ядра: .
Билет №6
1. Понятия линейного отображения пространств и линейного оператора. Примеры, простейшие свойства, способы задания.
2. Понятие квадратичной формы и ее матрицы. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов.
3. Найти уравнения, определяющие ортогональное дополнение подпространства, заданного следующей системой уравнений:
Билет №7
1. Понятие матрицы линейного оператора. Теорема о задании линейного оператора матрицей. Примеры (матрица линейного оператора дифференцирования). Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
2. Ортогональное дополнение подпространства, его свойства. Ортогональная проекция вектора на подпространство.
3. Пусть – собственный вектор оператора A, соответствующий собственному значению , – собственный вектор оператора A , соответствующий собственному значению =. Докажите, что .
Билет №8
1. Матрица линейного оператора. Изменение ее при переходе к новому базису.
2. Теорема о линейной независимости системы ортогональных векторов. Ортогональный базис евклидова пространства. Процесс ортогонализации построения ортонормированного базиса.
3. Доказать, что если самосопряженный оператор унитарного пространства, то оператор является кососимметрическим.
Билет №9
1. Понятие евклидова пространства над полем вещественных чисел. Примеры евклидовых пространств. Длина вектора и угол между векторами.
2. Оператор, сопряженный данному, его матрица в ортонормированном базисе.
3. Докажите, что множество всех собственных векторов линейного оператора, принадлежащих одному и тому же собственному значению, является инвариантным относительно этого оператора линейным подпространством.
Билет №10
1. Линейные операции над линейными операторами (определения, примеры. свойства). Пространство линейных операторов, его размерность.
2. Ортогональные подпространства евклидова пространства. Необходимое и достаточное условие ортогональности двух подпространств. Теорема о пересечении двух взаимно ортогональных подпространств.
3. Найти все значения параметра , при которых положительно определена квадратичная форма: .
Билет №11
1. Произведение линейных операторов, свойства этой операции. Теорема о матрице произведения операторов. Понятие обратного оператора и условия его существования.
2. Понятие билинейной формы. Матрица билинейной формы ее изменение при переходе к новому базису.
3. Дополнить векторы до ортонормированного базиса: , .
Билет №12
1.Ядро и образ линейного оператора. Теорема о ранге и дефекте линейного оператора.
2. Симметрическая и кососимметрическая билинейные формы. Необходимое и достаточное условие симметричности и кососимметричности формы.
3.Найти ортогональную проекцию вектора на подпространство, натянутое на векторы , .
Билет №13
1. Ядро и образ линейного оператора. Примеры отыскания ядра и образа. Терема о существовании линейного оператора, для которого одно из заданных двух подпространств, составляющих в прямой сумме все пространство, является ядром, а другое – образом.
2. Симметрическая и кососимметрическая билинейные формы. Теорема о представлении произвольной билинейной формы в виде суммы симметрической и кососимметрической билинейных форм.
3. Построить ортонормированный базис пространства, натянутого на векторы:
, , .
Билет №14
1. Нормальная форма квадратичной функции. Закон инерции квадратичных форм. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.
2. Свойства собственных векторов линейного оператора.
3. Доказать, что если некоторое подпространство унитарного пространства инвариантно относительно линейного оператора , то ортогональное дополнение этого подпространства инвариантно относительно сопряженного оператора.
Билет №15
1. Вырожденные и невырожденные линейные операторы. Необходимые и достаточные условия невырожденности линейного оператора.
2. Общее уравнение кривой второго порядка и его приведение к каноническому виду.
3. Доказать, что все n-мерные векторы, у которых первая и последняя координаты равны между собой, образуют подпространство в Rn. Найти базис и размерность этого подпространства.
Билет №16
1. Инвариантные подпространства линейного оператора. Теорема о пересечении и сумме инвариантных подпространств. Инвариантность ядра и образа линейного оператора.
2. Ортогональные операторы, их свойства. Матрица ортогонального оператора.
3. Скалярное произведение в пространстве многочленов степени не выше двух определено формулой.
.
Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный базис этого пространства, если задан базис 1, t, t2.
Билет №17
1. Понятие собственного вектора линейного оператора, Характеристический многочлен и собственные значения линейного оператора. Теорема о существовании собственных векторов.
2. Понятие евклидова пространства над полем комплексных чисел. Примеры Длина вектора и угол между векторами в унитарном пространстве.
3. Доказать, что 1) если А – самосопряженный оператор, то есть вещественное число; 2) если А –унитарный оператор, то .
Билет №18
1. Инвариантные подпространства линейного оператора. Матрица линейного оператора, имеющего инвариантные подпространства. Теорема о разложении пространства, в котором действует оператор, в прямую сумму инвариантных относительно его подпространств.
2. Ортогональное дополнение подпространства, его свойства. Ортогональная проекция вектора на подпространство.
3. Найти базисы суммы и пересечения подпространств, натянутых на векторы , , и векторы , , .
Билет №19
1. Теорема о линейной независимости собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.
2.Подпространства линейного векторного пространства, их пересечение и сумма. Линейная оболочка конечной системы векторов. Базис линейной оболочки.
3. Линейное подпространство задано уравнениями
Найти уравнения , задающие ортогональное дополнение этого подпространства.
Билет №20
1. Понятие собственного вектора линейного оператора. Теорема о существовании собственных векторов. Алгоритм отыскания собственных векторов.
2. Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду.
3. При каких значениях следующие матрицы будут ортогональны:
А) ; б) .