Учебно-методическая карта дисциплины

Номер раздела, темы, занятия

Наименование раздела, темы, занятия; перечень изучаемых вопросов

Кол-во аудиторных часов

Литература

Форма контроля занятий

Лекции

Практич. Занятия

1

2

3

4

5

6

I СЕМЕСТР

Простейшие понятия и конструкции теории множеств, логики и алгебры.(17 ч.).

7

10

[1]

[2]

[18]

[23]

[34]

[41]

[18]

[41]

[1]

[7]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[41]

[1]

[18]

[19]

[23]

[34]

[41]

Опрос по теории, проверка самостоятельных (домашних заданий)

1.

Общие исторические сведения о развитии математики. Элементы теории множеств, операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна. Отношения, их классификация (отношение эквивалентности). Декартовы произведения множеств. Множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел.

1

2

2.

Исходные понятия исчисления высказываний и предикатов. Необходимые и достаточные условия. Представления о дедуктивном и об индуктивном методах. Интерпретация истинностных таблиц с помощью релейно-контактных схем.

2

2

3.

Общие определения отображений, функционалов, функций, числовых последовательностей. Элементарные функции и их простейшие свойства. Способы задания (явные и неявные) функций. Алгебраические операции и их классификация и свойства.

2

2

4.

Понятие о математических моделях и структурах. Понятие о точных верхних и нижних гранях. Подмножества вещественных чисел. Множество комплексных чисел, их геометрическая интерпретация. Операции над комплексными числами. Формулы Муавра и Эйлера. Извлечение корней из комплексных чисел.

2

4

Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.(52ч.).

20

32

[1]

[2]

[3]

[4]

[14]

[16]

[19]

[20]

[35]

[41]

[1]

[2]

[4]

[14]

[20]

[35]

[41]

[1]

[2]

[3]

[14]

[20]

[21]

[35]

[41]

[1]

[2]

[12]

[14]

[20]

[21]

[35]

[41]

[1]

[2]

[14]

[20]

[21]

[35]

[41]

[1]

[4]

[28]

[29]

[41]

Опрос по теории, проверка самостоятельных (домашних ) заданий, контрольная работа

5.

Матрицы операции над ними и их свойства. Классификация матриц. Пространство . Классическое определение определителя. Свойства определителей. Миноры, алгебраические дополнения. Простейшие методы вычисления определителей. Интерпретация определителя -го порядка как функции переменных.

2

6

6.

Обратная матрица. Теорема существования и единственности обратной матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными, условие их разрешимости. Матричный метод решения систем, формулы Крамера.

2

4

7.

Линейные (векторные) пространства. Линейно независимые и зависимые системы векторов, базис линейного пространства. Теорема об инвариантности размерности конечно-мерного линейного пространства. Законы преобразования координат векторов при изменении базиса. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональный и ортонормированный базисы. Понятие об унитарном пространстве.

2

2

8.

Линейные операторы. Закон преобразования матрицы линейного оператора при изменении базиса. Понятие о тензорах. Собственные векторы и значения линейного оператора. Характеристическое уравнение. Инварианты линейного оператора. Системы линейных алгебраических уравнений с неизвестными, условие их разрешимости. Матричный метод решения систем, формулы Крамера.

2

2

9.

Классификация линейных операторов и их матриц. Простейшие свойства эрмитовых, ортогональных и унитарных матриц. Решение произвольных систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса. Теорема о базисном миноре. Способы вычисления рангов системы векторов и матриц.

2

4

10.

Понятие о точечных аффинных и евклидовых пространствах. Простейшие понятия и задачи аналитической геометрии. Скалярное произведение векторов: определение, вычисление в прямоугольной декартовой системе координат и его приложения.

2

2

11.

Понятие об ориентации системы векторов в трехмерном точечном евклидовом пространстве. Векторное и смешанное произведения: определение, свойства, вычисление и их приложения. Уравнения прямых на плоскости.

2

4

[1]

[4]

[28]

[29]

[41]

[43]

12.

Уравнение плоскостей и прямых в трехмерном точечном евклидовом пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей, расстояние между ними.

2

4

[1]

[4]

[28]

[29]

13.

Кривые второго порядка, их канонические уравнения в прямоугольной декартовой и полярной системах координат. Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду.

2

2

[1]

[4]

[28]

[29]

14.

Поверхности второго порядка, их классификация и простейшие свойства.

2

2

[1]

[4]

[28]

[29]

Введение в математический анализ и дифференциальное исчисление функций одной переменной.(52 ч.).

23

26

15.

Понятие окрестности вещественного числа. Пределы числовых последовательностей, их свойства. Принцип Коши. Теорема существования пределов монотонных ограниченных числовых последовательностей.

3

4

[1]

[5]

[18]

[22]

[23]

[34]

Опрос по теории, проверка самостоятельных работ

16.

Пределы вещественных функций одной вещественной переменной. Первый и второй замечательные пределы. Непрерывные функции и их локальные и глобальные свойства. Теорема Вейерштрасса.

4

4

[1]

[5]

[18]

[22]

[23]

[34]

17.

Производная и дифференциал функции одной вещественной переменной. Правила дифференцирования. Табличные производные. Инвариантность формы дифференциала 1-го порядка.

4

4

[1]

[5]

[18]

[22]

[23]

[34]

18.

Неявно заданные функции. Теорема существования и единственности. Производные и дифференциалы функций, заданных неявно и параметрически. Производные и дифференциалы высших порядков.

4

4

[1]

[5]

[18]

[22]

[23]

[34]

19.

Теоремы о среднем. Правило Бернулли-Лопиталя.

2

4

[1]

[5]

[18]

[22]

[23]

[34]

20.

Формула Тейлора для вещественных функций одной вещественной переменной. Примеры ее использования.

2

2

[1]

[5]

[18]

[22]

[23]

[34]

21.

Условия монотонности функций, экстремумы функций. Необходимые и достаточные условия существования экстремумов вещественных функций одной вещественной переменной. Условия выпуклости и вогнутости таких функций. Точки перегиба, Асимптоты. Общая схема исследования этих функций.

4

4

[1]

[5]

[18]

[22]

[23]

[34]

Итого за первый семестр

50

68

II СЕМЕСТР

Вещественные функции нескольких вещественных переменных.(14 ч.).

9

5

[1]

[5]

[7]

[9]

[18]

[22]

[23]

[34]

[1]

[5]

[7]

[9]

[18]

[22]

[23]

[34]

[1]

[5]

[7]

[9]

[18]

[22]

[23]

[34]

Опрос по теории, проверка самостоятельных заданий, контрольная работа

1.

Понятие о метрическом пространстве. Открытые и замкнутые множества. Фундаментальные последовательности в . Пределы функций нескольких переменных и их простейшие свойства. Непрерывные функции нескольких переменных и их простейшие свойства.

2

1

2.

Частные производные. Дифференцируемые функции нескольких переменных. Полный дифференциал. Производная по направлению. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные высших порядков. Теорема о смешанных частных производных 2-го порядка.

2

1

3.

Производные сложных функции нескольких переменных. Дифференцирование неявно заданных функции нескольких переменных. Дифференциалы высших порядков.

1

1

4.

Понятие о квадратичных формах. Критерий Сильвестра. Экстремумы функций нескольких переменных. Формула Тейлора для функций нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования безусловного экстремума.

2

1

[1]

[5]

[7]

[9]

[18]

[22]

[20]

[23]

[34]

[35]

5.

Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод Лагранжа.

2

1

[1]

[5]

[7]

[9]

[18]

[22]

[20]

[23]

[34]

[35]

Неопределённый и определённый интегралы(30 ч.).

18

12

[1]

[5]

[7]

[18]

[34]

[1]

[5]

[7]

[18]

[34]

[1]

[5]

[7]

[18]

[34]

[1]

[5]

[7]

[13]

[15]

[16]

[1]

[5]

[7]

[13]

[15]

[16]

[34]

[1]

[5]

[7]

[13]

[15]

[16]

[34]

[1]

[5]

[7]

[13]

[15]

[16]

[34]

Опрос по теории, проверка самостоятельных работ, защита индивидуальных заданий.

6.

Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства. Табличные интегралы. Простейшие приемы интегрирования.

2

1

7.

Многочлены и рациональные функции. Основная теорема классической алгебры. Теорема Безу. Разложение рациональных дробей на простейшие дроби. Интегрирование

простейших рациональных функций.

3

2

8.

Интегрирование иррациональных дробей.

2

1

9.

Интегрирование тригонометрических функций.

2

1

10.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства и простейшие приемы интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница. Сходства и отличия понятий определенного и неопределенного интегралов. Свойства определенных интегралов с переменными пределами.

3

2

11.

Приложения определенных интегралов к решению геометрических и механических задач.

4

4

12.

Несобственные интегралы I и II родов.

2

1

Общая схема построения интегралов.(29 ч.).

16

13

13.

Интеграл по фигуре, его общие свойства. Двойные и двукратные интегралы, их свойства и вычисление прямоугольной декартовой системе координат.

2

2

[1]

[5]

[7]

[13]

[15]

[16]

[34]

[1]

[5]

[7]

[13]

[15]

[16]

[33]

[34]

[1]

[5]

[7]

[13]

[15]

[16]

[33]

[34]

[1]

[7]

[33]

Опрос по теории, проверка самостоятельных работ, защита индивидуальных заданий.

14.

Тройной и трехкратные интегралы, их свойства и вычисление в прямоугольной декартовой системе координат. Вычисление двойных и тройных интегралов в криволинейных системах координат.

4

3

15.

Криволинейные интегралы первого и второго родов, их свойства и вычисление. Формула Грина.

4

3

16.

Поверхностные интегралы первого и второго родов, их свойства и вычисление.

4

3

17.

Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов к решению геометрических и физических задач.

2

2

[1]

[7]

[12]

[13]

[15]

[16]

[33]

[34]

Элементы теории поля.(11ч.).

7

4

[7]

[33]

7]

[33]

[7]

[33]

[7]

[33]

Опрос по теории, проверка индивидуальных и самостоятельных заданий.

18.

Скалярные и векторные поля. Градиент и его свойства. Поток векторного поля через поверхность.

1

1

19.

Дивергенция, ее инвариантное определение, свойства и вычисление в декартовой прямоугольной системе координат. Теорема Остроградского-Гаусса, ее гидродинамическая интерпретация.

2

1

20.

Циркуляция векторного поля. Инвариантное определение ротора и его гидродинамическая интерпретация. Формула Стокса, ее гидродинамический смысл.

2

1

21.

Классификация векторных полей. Дифференциальные операции 2-го порядка. Оператор Лапласа, его связь с дивергенцией и градиентом. Оператор Гамильтона.

2

1

Итого за второй семестр

50

34

III СЕМЕСТР

Обыкновенные дифференциальные уравнения.(24 ч.).

12

12

1.

Задачи, приводящие к необходимости решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Общие понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

2

2

[6]

[7]

[16]

[24]

[25]

[26]

[30]

[31]

[32]

[

6]

[7]

[16]

[24]

[25]

[26]

[30]

[31]

[32]

[6]

[7]

[16]

[24]

[25]

[26]

[30]

[31]

[32]

Опрос по теории, проверка индивидуальных и самостоятельных заданий.

2.

Простейшие типы дифференциальных уравнений, интегрируемые в квадратурах. Понятие об особых решениях, особых точках, семействах кривых.

4

4

3.

Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Задачи Коши. ОДУ, допускающие приложение порядка. Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа. Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

6

6

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.(16 ч.).

8

8

[6]

[7]

[16]

[24]

[25]

[26]

[30]

[31]

[32]

[6]

[7]

[16]

[24]

[25]

[26]

[30]

[31]

[32]

[6]

[7]

[16]

[24]

[25]

[26]

[30]

[31]

[32]

[36]

Опрос по теории, проверка индивидуальных и самостоятельных заданий.

4.

Общие понятия теории систем ОДУ. Нормальные и автономные системы ОДУ. Фазовое пространство и фазовые кривые. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для системы ОДУ. Метод исключения. Фазовые портреты на плоскости.

2

2

5.

Линейные системы ОДУ с постоянными коэффициентами, их общие свойства и решение. Свойства определителя Вронского.

2

2

6.

Понятие устойчивости и асимптотический устойчивости по Ляпунову. Устойчивость решений линейных систем ОДУ с постоянными коэффициентами.

2

2

7.

Типы точек покоя. Линеаризация в окрестности точки покоя. Теорема о линеаризации. Критерий устойчивости Рауса-Гурвица. Приложение теории ОДУ и систем ОДУ к исследованию гармонических колебаний и резонансных явлений.

2

2

[6]

[7]

[16]

[24]

[25]

[26]

[30]

[31]

[32]

[35]

[36]

Числовые и функциональные ряды.(18 ч.).

9

9

[1]

[7]

[12]

[15]

[16]

[30]

[32]

[34]

[1]

[7]

[12]

[15]

[16]

[30]

[32]

[34]

[1]

[7]

[12]

[15]

[16]

[30]

[32]

[34]

Опрос по теории, проверка индивидуальных и самостоятельных заданий.

8.

Числовые ряды. Классическое определение суммы ряда. Операции над числовыми рядами. Необходимые признак сходимости. Признаки сравнения, признаки Д’Аламбера, Коши.

3

3

9.

Интегральный признак сходимости знакопостоянных рядов. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов.

2

2

10.

Функциональные ряды. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Действия над степенными рядами. Ряды Тейлора и Маклорена. Применение рядов для приближенного вычисления функций, интегралов и решения ОДУ.

4

4

Ряды Фурье и преобразование Фурье.(12 ч.).

6

6

11.

Ряды Фурье. Гильбертово пространство. Ортогональные системы функций. Приближение функций в среднем. Достаточные условия разложения функций в ряды Фурье. Разложение четных и нечетных функций по основной системе тригонометрических функций. Ряд Фурье в комплексной форме.

4

4

[1]

[7]

[16]

[33]

Опрос по теории, проверка индивидуальных и самостоятельных заданий.

12.

Интеграл Фурье. Прямое и обратное преобразование Фурье. Понятие о дискретном преобразовании Фурье. Спектральная, частотная и фазовая характеристики линейного преобразователя.

2

2

[1]

[33]

Элементы теории функций комплексного переменного и операционного исчисления.(32 ч.).

16

16

13.

Функции комплексного переменного. Основные элементарные функции комплексного переменного. Аналитические функции. Условия Коши-Римана.

3

3

[1]

[6]

[13]

[15]

[16]

[37]

Опрос по теории, проверка индивидуальных и самостоятельных заданий.

14.

Интегралы от функции комплексной переменной. Теорема Коши. Формулы Коши. Интеграл в смысле главного значения по Коши.

3

3

[1]

[6]

[13]

[15]

[16]

[37]

15.

Степенные ряды, их общие свойства. Круг сходимости. Классификация особых изолированных точек. Ряд Лорана. Теорема о вычетах и ее приложения.

3

3

[1]

[6]

[13]

[15]

[16]

[37]

16.

Оригинал и изображение по Лапласу. Общие свойства преобразования Лапласа. Обратное преобразование Лапласа. Таблица изображений.

3

3

[1]

[37]

17.

Нахождение оригинала по его изображению. Теоремы разложения.

2

2

[1]

[37]

18.

Операционный метод решения ОДУ и систем ОДУ.

2

2

[1]

[37]

Итого за третий семестр

51

51

IV СЕМЕСТР

Уравнения математической физики.(20 ч.).

10

10

Опрос по теории, проверка индивидуальных и самостоятельных заданий.

1.

Уравнения в частных производных. Основные типы уравнений в частных производных второго порядка. Постановки основных краевых задач. Задача Коши.

2

2

[7]

[38]

2.

Вывод уравнения малых поперечных колебаний струны. Задача Коши. Метод Д’Аламбера.

2

2

[7]

[38]

3.

Решение первой краевой задачи методом Фурье (разделения переменных). Задача Штурма-Лиувилля.

2

2

[7]

[38]

4.

Вывод уравнений теплопроводности для одномерного случая. Понятие о применении интегральных преобразований в задачах для уравнений параболического типа. Применение метода Фурье для решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности.

2

2

[7]

[38]

5.

Задачи, приводящие к уравнению Лапласа. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге методом Фурье. Понятие о применении теории функций комплексного переменного к решению краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона.

2

2

[7]

[38]

Теория вероятностей и математическая статистика.(48 ч.).

24

24

6.

Стохастические эксперименты. Элементы комбинаторики. Вероятностное пространство. Алгебра событий. Способы задания вероятностей.

3

3

[8]

[11]

[17]

Опрос по теории, проверка индивидуальных и самостоятельных заданий.

7.

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формулы полной вероятности и Бейеса.

2

3

[8]

[11]

[17]

8.

Понятие о связи между количеством информации и теорией вероятностей. Одномерные случайные величины. Свойства функций распределения и плотностей распределения таких величин. Числовые характеристики данных величин.

3

3

[8]

[11]

[17]

9.

Простейшие законы распределения одномерных случайных величин. Нормальный закон распределения.

2

3

[8]

[11]

[17]

10.

Многомерные случайные величины, их функции распределения и числовые характеристики.

3

2

[8]

[11]

[17]

11.

Законы больших чисел. Предельные теоремы.

2

1

[8]

[11]

[17]

12.

Задачи математической статистики. Выборки, эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.

1

1

[8]

[11]

[17]

13.

Точечные оценки неизвестных параметров распределения. Методы получения оценок.

2

2

[1]

[11]

[17]

14.

Интервальные оценки неизвестных параметров распределения.

1

2

[1]

[11]

[17]

15.

Проверка статистических гипотез.

2

2

[1]

[11]

[17]

16.

Корреляционный и регрессионный анализ.

2

2

[1]

[11]

[17]

17.

Случайные функции и их числовые характеристики.

1

-

Итого за четвертый семестр

34

34