Раздел 2. Введение в математический анализ

1. Множества и действия над ними. Элементы математической логики. Логические символы. Необходимое и достаточное условия. Прямая и обратная теоремы. Метод математической индукции. Бином Ньютона.

2. Поле действительных чисел. Модуль действительного числа. Ограниченные и неограниченные числовые множества. Наибольший и наименьший элементы числового множества. Верхняя и нижняя грани числового множества.

3. Понятие предела числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Монотонные последовательности, критерий их сходимости. Число е. Натуральные логарифмы.

4. Предел функции в точке и на бесконечности. Свойства функций, имеющих предел. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

5. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных в точке. Точки разрыва функции и их классификация. Непрерывность элементарных функций. Замечательные пределы.

6. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные функции и их применение к вычислению пределов.

7. Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства. Теорема Коши о промежуточном значении. Обратная функция и её непрерывность.

Раздел 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1. Производная функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой. Правила дифференцирования, производная сложной и обратной функции. Производные элементарных функций. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.

2. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближённых вычислениях. Инвариантность формы первого дифференциала. Непрерывность дифференцируемой функции.

3. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

4. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши. Виды неопределённостей. Правило Лопиталя.

5. Формула Тейлора и различные формы её остаточного члена. Основные разложения элементарных функций по формуле Тейлора и их приложения.

6. Монотонность и экстремумы функции. Теорема Ферма. Необходимые и достаточные условия экстремума. Выпуклость и точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения её графика.

7. Кривизна плоской кривой. Радиус кривизны. Понятие об эволюте и эвольвенте. Векторная функция скалярного аргумента: определение, предел, непрерывность. Дифференцирование векторной функции. Геометрический и механический смысл производной. Касательная прямая и нормальная плоскость к пространственной кривой.

Раздел 4. Интегральное исчисление функций одной переменной

1. Первообразная функция. Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица основных неопределённых интегралов. Замена переменной в неопределённом интеграле и интегрирование по частям.

2. Интегрирование рациональных функций разложением на сумму простых дробей.

3. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции и некоторые иррациональные функции.

4. Понятие определённого интеграла. Необходимые и достаточные условия интегрируемости функций. Интегрирование непрерывных и кусочно-непрерывных функций.

5. Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница.

6. Замена переменной в определённом интеграле. Формула интегрирования по частям определённого интеграла.

7. Геометрические приложения определённого интеграла: вычисление площадей плоских фигур; объемов тел; длин дуг; площадей поверхностей вращения.

8. Физические приложения определённых интегралов: вычисление работы; пути; давления; массы; центра тяжести; статических моментов и моментов инерции.

9. Несобственные интегралы первого и второго рода. Определения, признаки сходимости, абсолютная и условная сходимость.