Цели и задачи учебной дисциплины

Преподавание высшей математики имеет целью:

– формирование личности студента, развитие его интеллекта и способности к логическому алгоритмическому мышлению;

– обучение основным математическим методам, необходимым для анализа реальных процессов и явлений, при поиске оптимальных решений задач и выбора наилучших способов реализации этих решений;

– обучение основным методам обработки и анализа результатов численных и натуральных экспериментов.

Задачи преподавания математики состоят в том, чтобы на примерах математических понятий и методов продемонстрировать студентам специфику математики, ее сущность и общность, а также разъяснить роль математики, которую она играет при решении научно-технических задач. Задачами преподавания математики являются также обучение студентов приемам исследования и решения формализованных математических задач, выработка у студентов умения анализировать полученные результаты. Кроме этого студентам необходимо привить навыки самостоятельного изучения литературы по математике и ее приложениям.

Выпускник должен:

знать:

– методы математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, решения дифференциальных уравнений;

– основы теории функций комплексного переменного, операционного исчисления, теории поля;

– основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики;

– основные математические методы решения инженерных задач;

уметь:

– решать математически формализованные задачи линейной алгебры и аналитической геометрии;

– дифференцировать и интегрировать функции, вычислять интегралы по фигуре, решать дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений;

– ставить и решать вероятностные задачи и производить статистическую обработку опытных данных;

– строить математические модели физических процессов.

Распределение общего количества часов по семестрам:

1 семестр – 119 часа; 2 семестр – 85 часов; 3 семестр – 102 часа; 4 семестр – 68 часов.

1. Содержание

Раздел 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия

1. Матрицы и линейные операции над ними. Произведение матриц. Транспонирование матрицы.

1. Определители 2 и 3 порядка и их свойства. Определитель n-го порядка.

3. Обратная матрица и её построение. Теорема существования и единственности обратной матрицы.

4. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров и элементарными преобразованиями.

5. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Матричный метод решения невырожденных систем. Формулы Крамера. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений.

6. Декартова система координат. Векторы в пространстве и линейные операции над ними. Условие коллинеарности векторов. Линейная зависимость и независимость векторов. Понятие базиса. Координаты вектора.

7. Скалярное произведение векторов, его свойства и механический смысл. Скалярное произведение в координатной форме. Условие перпендикулярности двух векторов.

8. Ориентация тройки векторов в пространстве. Векторное произведение векторов, его свойства, геометрический и физический смысл. Векторное произведение в координатной форме.

9. Смешанное произведение векторов, его геометрический и механический смысл. Условие компланарности трёх векторов.

10. Кривая на плоскости и способы её задания. Различные виды уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

11. Окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения. Приложения геометрических свойств этих кривых. Общее уравнение кривых второго порядка в декартовой системе координат. Уравнения кривых второго порядка в полярных координатах.

12. Плоскость в пространстве и различные формы её задания. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.

13. Прямая в пространстве и способы её задания. Угол между прямыми. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

14. Эллипсоид, гиперболоид, параболоид, конус, цилиндр. Метод сечений в исследовании уравнений поверхностей. Общее уравнение поверхности второго порядка. Поверхности вращения. Цилиндрические и конические поверхности.

15. Линейное векторное пространство. Подпространство. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства. Базис и размерность. Координаты векторов. Преобразование координат вектора при замене базиса.

16. Евклидово пространство. Неравенство Буняковского-Коши. Ортогональный и ортонормированный базисы. Разложение вектора по ортогональному базису.

17. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Действия над линейными операторами. Зависимость между матрицами линейного оператора в различных базисах. Понятие о тензорах.

18. Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду.

19. Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. Критерий Сильвестра. Применение квадратичных форм к исследованию кривых и поверхностей второго порядка.

20. Комплексные числа и действия над ними. Поле комплексных чисел. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел. Формулы Муавра и Эйлера. Сопряжённые числа.

21. Алгебраические многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители над полем комплексных и над полем действительных чисел.

22. Разложение рациональных функций на простейшие дроби. Методы вычисления коэффициентов разложения.