Раздел 8. Векторный анализ и элементы теории поля

1. Скалярные и векторные поля. Векторные линии поля и их дифференциальные уравнения.

1. Потенциальное поле. Потенциальная функция поля. Поток векторного поля.

2. Дивергенция векторного поля. Физический смысл формулы Остроградского-Гаусса, ее гидродинамическая интерпретация.

3. Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция и ротор векторного поля. Физический смысл формулы Стокса.

2. Оператор Гамильтона. Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа. Дифференциальные операции первого и второго порядков в цилиндрических и сферических координатах.

Раздел 9. Интегралы, зависящие от параметра

1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Их непрерывность, дифференцирование и интегрирование.

2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (НИЗОП). Равномерная сходимость НИЗОП, признак Вейерштрасса. Теоремы о непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости НИЗОП.

Раздел 10. Числовые и функциональные ряды

1. Числовой ряд и его сумма. Необходимое условие сходимости ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Достаточные условия сходимости ряда: признаки сравнения; признаки Даламбера и Коши; интегральный признак. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.

2. Функциональные ряды, сумма ряда и область сходимости. Равномерная сходимость функциональных рядов. Критерий Коши и признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Непрерывность суммы функционального ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование функционального ряда.

3. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы степенного ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда.

4. Ряды Тейлора. Теорема о единственности разложения функций в ряд Тейлора. Достаточные условия представления функции рядом Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора.

5. Применение рядов к решению дифференциальных уравнений, вычислению определенных интегралов.

Раздел 11. Ряд и интеграл Фурье

1. Ортогональность тригонометрической системы функций. Тригонометрический ряд Фурье. Достаточные условия сходимости тригонометрических рядов Фурье. Ряд Фурье для функций с периодом 2π, и для функций с произвольным периодом. Тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме.

2. Интеграл Фурье. Косинус- и синус-преобразования Фурье и их свойства. Комплексная форма интеграла Фурье. Понятие о дискретном преобразовании Фурье.

Раздел 12. Элементы теории функций комплексной переменной

1. Функции комплексной переменной. Предел и непрерывность функции комплексной переменной.

2. Производная функции комплексной переменной. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие аналитической функции, условия Коши-Римана. Связь аналитических и гармонических функций. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.

3. Интеграл от функции комплексной переменной. Теорема Коши и интегральная формула Коши.

4. Функциональные ряды в комплексной области. Степенные ряды в комплексной области: теорема Абеля; радиус и круг сходимости. Ряд Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора. Нули аналитических функций и их классификация.

5. Ряд Лорана и область его сходимости. Изолированные особые точки аналитических функций: устранимые особые точки; полюсы и их связь с нулями; существенно особые точки.

6. Вычеты аналитических функций. Основная теорема о вычетах. Приложения вычетов к вычислению определённых интегралов.