Лабораторная работа № 6 Экспериментальное определение ёмкости конденсатора

3. I. Цель лабораторной работы

Выполнение лабораторной работы преследует следующие цели:

а) Экспериментальное определение процесса разрядки конденсатора.

б) Определение ёмкости конденсатора двумя способами.

в) Обработка полученных результатов измерений на компьютере а также построение графических зависимостей с помощью электронных таблиц Excel.

г) Формулировка выводов по полученным результатам.

II. Теоретическая часть

Если двум изолированным друг от друга проводникам сообщить заряды q₁ и q₂, то между ними возникает некоторая разность потенциалов Δφ, зависящая от величин зарядов и геометрии проводников. Разность потенциалов Δφ между двумя точками в электрическом поле часто называют напряжением и обозначают буквой U. Наибольший практический интерес представляет случай, когда заряды проводников одинаковы по модулю и противоположны по знаку: q₁ = – q₂ = q. В этом случае можно ввести понятие электрической емкости.

Электроемкостью системы из двух проводников называется физическая величина, определяемая как отношение заряда q одного из проводников к разности потенциалов Δφ между ними:

В системе СИ единица электроемкости называется фарад (Ф):

Величина электроемкости зависит от формы и размеров проводников и от свойств диэлектрика, разделяющего проводники. Существуют такие конфигурации проводников, при которых электрическое поле оказывается сосредоточенным (локализованным) лишь в некоторой области пространства. Такие системы называются конденсаторами, а проводники, составляющие конденсатор, называются обкладками.

В зависимости от геометрии обкладок конденсаторы бывают плоские, цилиндрические и сферические (рис.1).

Рис.1 Типы конденсаторов

а) плоский: б) цилиндрический: в) сферический

Простейший конденсатор – это система из двух плоских проводящих пластин, расположенных параллельно друг другу на малом по сравнению с размерами пластин расстоянии и разделенных слоем диэлектрика. Такой конденсатор называется плоским. Электрическое поле плоского конденсатора в основном локализовано между пластинами (рис.2); однако, вблизи краев пластин и в окружающем пространстве также возникает сравнительно слабое электрическое поле, которое называют полем рассеяния. В целом ряде задач можно приближенно пренебрегать полем рассеяния и полагать, что электрическое поле плоского конденсатора целиком сосредоточено между его обкладками (рис. 3). Но в других задачах пренебрежение полем рассеяния может привести к грубым ошибкам, так как при этом нарушается потенциальный характер электрического поля.

Рис. 2 Реальное поле плоского конденсатора.

Рис. 3 Идеализированное представление поля плоского конденсатора.

Физическую величину С, равную отношению заряда Q конденсатора к напряжению U на его обкладках называют электроёмкостью (или просто ёмкостью) конденсатора:

. (1)

Ёмкость конденсатора зависит от формы и размеров его обкладок, расстояния между ними, а также от диэлектрической проницаемости диэлектрика, заполняющего пространство между обкладками.

Каждая из заряженных пластин плоского конденсатора создает вблизи поверхности электрическое поле, модуль напряженности которого выражается соотношением:

,

где - поверхностная плотность заряда, а Ф/м – электрическая постоянная.

Согласно принципу суперпозиции, напряженность результирующего поля, создаваемого обеими пластинами, равна сумме напряженностей и полей каждой из пластин:

Внутри конденсатора вектора и параллельны; поэтому модуль напряженности суммарного поля равен

Вне пластин вектора и направлены в разные стороны, и поэтому E = 0. Поверхностная плотность σ заряда пластин равна q / S, где q – заряд, а S – площадь каждой пластины. Разность потенциалов Δφ между пластинами в однородном электрическом поле равна Ed, где d – расстояние между пластинами. Из этих соотношений можно получить формулу для электроемкости плоского конденсатора:

Таким образом, электроемкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади пластин (обкладок) и обратно пропорциональна расстоянию между ними. Если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, электроемкость конденсатора увеличивается в ε раз:

. (2)

Здесь при выводе формулы ёмкости плоского конденсатора поле в конденсаторе принято однородным рис. 3.

Примерами конденсаторов с другой конфигурацией обкладок могут служить сферический и цилиндрический конденсаторы. Сферический конденсатор – это система из двух концентрических проводящих сфер радиусов R₁ и R₂. Цилиндрический конденсатор – система из двух соосных проводящих цилиндров радиусов R₁ и R₂ и длины L. Емкости этих конденсаторов, заполненных диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε, выражаются формулами:

Конденсаторы могут соединяться между собой, образуя батареи конденсаторов. При параллельном соединении конденсаторов (рис. 4) напряжения на конденсаторах одинаковы: U₁ = U₂ = U, а заряды равны q₁ = С₁U и q₂ = С₂U. Такую систему можно рассматривать как единый конденсатор электроемкости C, заряженный зарядом q = q₁ + q₂ при напряжении между обкладками равном U. Отсюда следует

Таким образом, при параллельном соединении электроемкости складываются.

Рисунок 4. Параллельное соединение конденсаторов. C = C1 + C2.

Рисунок 5. Последовательное соединение конденсаторов.

При последовательном соединении (рис. 5) одинаковыми оказываются заряды обоих конденсаторов: q₁ = q₂ = q, а напряжения на них равны

и

Такую систему можно рассматривать как единый конденсатор, заряженный зарядом q при напряжении между обкладками U = U₁ + U₂. Следовательно,

При последовательном соединении конденсаторов складываются обратные величины емкостей.

Формулы для параллельного и последовательного соединения остаются справедливыми при любом числе конденсаторов, соединенных в батарею.

В настоящей лабораторной работе для определения ёмкости конденсатора собирается электрическая цепь, схематично показанная на рисунке 6.

Рис.6 Схема электрической цепи

1- источник постоянного тока; 2 – исследуемый конденсатор; 3 – мультиметр в режиме амперметра; К-переключатель; R₀ , R – нагрузочные сопротивления

Исследуемый конденсатор С необходимо зарядить до напряжения источника U₀ посредством замыкания ключа К. Если ключ К снова разомкнуть, то конденсатор будет разряжаться через резистор R и микроамперметр.

Заряд, протекающий через микроамперметр в процессе разрядки конденсатора, будет равен и численно равен площади под графиком зависимости силы тока I в цепи от времени t (рис. 7)

Рис. 7

Таким образом, измеряя ток в цепи микроамперметром в разные моменты времени в процессе разрядки конденсатора и строя график зависимости силы тока от времени, можно найти заряд конденсатора Q как площадь под графиком I(t).

Если напряжение источника U₀ неизвестно, то его нетрудно рассчитать на основании закона Ома по формуле :

U₀=I₀R,

где I₀ - ток в цепи в начальный момент процесса разрядки конденсатора, a R - сопротивление резистора, через который происходит разрядка (внутренним сопротивлением микроамперметра мы пренебрегаем). Предложенным способом можно лишь оценить ёмкость исследуемого конденсатора. Для более точного определения ёмкости предлагается следующий метод, использующий теоретическую зависимость силы тока от времени в процессе разрядки конденсатора. Рассмотрим состояние цепи в произвольный момент времени t (рис. 8). Пусть Q(t) - заряд конденсатора, a I(t) - ток в цепи в этот момент времени.

Рис. 8

Напряжение на конденсаторе будет равно напряжению на резисторе, т.е.

- (3)

Принимая во внимание закон сохранения заряда, получим соотношение, связывающее ток I с зарядом Q:

+ (4)

В самом деле, пусть Q(t) - заряд конденсатора в произвольный момент времени t. Спустя малый промежуток времени dt с верхней обкладки конденсатора утечет заряд q=Idt и в момент времени t+dt на конденсаторе останется заряд

Q(t + dt) = Q(t) - Idt

Таким образом: , что и требовалось показать.

Дифференцируя по времени уравнение (3) с учетом соотношения (4) получим дифференциальное уравнение для тока I :

Решение этого уравнения при начальном условии I(0) = I₀ имеет вид :

(5)

Мы получили теоретическую зависимость тока в цепи от времени в процессе разрядки конденсатора. В настоящей лабораторной работе эта зависимость проверяется экспериментально. Для проверки зависимости (5) следует измерить значения силы тока в разные моменты времени и результаты измерений изобразить в виде точек на координатной плоскости XOY, где Х = t, Y=. Если экспериментальные точки в пределах точности измерений ложатся на прямую (рис. 9), то это подтверждает зависимость (5).

Рис. 9.

Из соотношения (5) нетрудно получить выражение для ёмкости конденсатора

(6)

Таким образом, измеряя значение силы тока I в начальный момент времени t=0 и в момент времени t. зная сопротивление цепи R, можно рассчитать ёмкость С по формуле (6).

Электрическая цепь в смонтированном виде изображена на рис.10.

Переключатель питания от сети		Регулятор напряжения		Регулятор тока Источник постоян-ного тока Регулятор тока
Переключатель (ключ К)	Монтажный проводник		Исследуемый конденсатор		Мультиметр в режиме амперметра

Рис. 10 Электрическая цепь в смонтированном виде

На рис.10 зелёным цветом отмечены элементы, соединённые по последовательной схеме цепи, а чёрным- по параллельной схеме.

Для монтажа цепи и проведения лабораторных исследований в данной работе используются следующие приборы и устройства:

Источник постоянного тока, имеющий следующие основные технические характеристики:

Тип прибора	Uвых, В	Iнагр, А	Дискретность установки
			напряжения, мВ	Тока, мА
Б5-47	0,1 – 29,9	0,01 – 2,99	100	10

Величина выходного напряжения и тока нагрузки меняется дискретно (т. е. ступенчато) вращением переключателей на лицевой панели прибора, см. рис.11).

Регулятор напряжения	Регулятор тока
Выходной сигнал постоянного тока Переключатель входного питания

Рис.11 Внешний вид источника постоянного тока