5. Контрольные вопросы

5.1. Какова цель лабораторной работы?

5.2. Чем обусловлено возникновение прогиба вала при вращении?

5.3. Как в лабораторной работе определяется величина статического прогиба вала?

5.4. Как определяется величина прогиба вала при действии сосредоточенной силы методом начальных параметров?

5.5. Почему при достижении критической угловой скорости прогиб вала в месте соединения с диском оказывается конечным?

5.6. Что понимается под критической угловой скоростью вала?

5.7. Объясните сущность явления «самоцентрирования» диска при вращении вала.

5.8. В каких зонах, дорезонансной или зарезонансной, целесообразна работа высокоскоростных гибких валов?

5.9. Какие параметры механической системы оказывают влияние на величину критической угловой скорости вала?

5.10. Как при конструировании машин обеспечить отсутствие резонанса в процессе их работы?

6. Рекомендуемая литература

6.1. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. –М.: Государственное научно-техническое издательство машиностроительной литературы, 1957.- 336 с.

6.2. Алтури С., Кобаяси А. и др. Экспериментальная механика: В 2-х книгах: Книга 2. Пер. с англ./Под ред. А. Кобаяси.-М.: Мир, 1990.-552 с.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5

Тема работы: Определение собственных частот крутильных колебаний круглого стержня.

Цель работы:

- теоретически и экспериментально определить частоты собственных крутильных колебаний круглого стержня с грузами на консоли;

- определить степень влияния параметров стержня на значения частот собственных крутильных колебаний.

1. Необходимые теоретические сведения

При анализе крутильных колебаний прямолинейного стержня с постоянной площадью и формой поперечных сечений, будем считать, что в процессе упругой деформации, связанной с кручением, его сечения остаются плоскими и поворачиваются друг относительно друга на некоторый малый угол. В этом случае механическая колебательная система может считаться линейной¹.

Рассмотрим участок закрученного стержня круглого поперечного сечения диаметром (рисунок 1).

Рисунок 1 – Расчетная схема участка закрученного стержня

Уравнение равновесия участка стержня представляется в виде

, (1)

где - внутренний крутящий момент в сечении с координатой ; - полярный момент инерции поперечного сечения стержня; - модуль упругости второго рода материала стержня;- плотность материала стержня; угол поворота сечения стержня; - время.

После преобразований уравнение (1) примет следующий вид

, (2)

где .

Представим функцию в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от координаты , другая - только от времени :

. (3)

После ее подстановки в (2), получим следующее равенство

. (4)

Тождественное выполнение равенства (4) при любых и возможно в случае, когда левая и правая его части равны некоторой постоянной величине. Обозначив ее как , получим следующие дифференциальные уравнения:

и . (5)

Решение первого из них описывает колебательный процесс с собственной частотой²

. (6)

Решение второго определяет форму смещений сечений стержня при колебаниях (форму колебаний³) и имеет вид

. (7)

Для определения постоянных , необходимо использовать все граничные и начальные условия задачи. Для определения собственной частоты достаточно учесть граничные условия.

Выражения (6) и (7) являются лишь частными решениями задачи, соответствующими собственной частоте . Общее решение имеет вид:

. (8)

Множество функций , называется множеством фундаментальных или собственных функций задачи (множеством собственных форм колебаний⁴). Эти функции не зависят от начальных условий, а значения величин, входящих в них (, определяются граничными условиями задачи и параметрами стержня, такими как плотность материала , модуль упругости второго рода , диаметр поперечного сечения и длина стержня . Таким образом, стержень имеет бесконечное множество собственных частот крутильных колебаний , .