- •Задачи и упражнения по начертательной геометрии
- •Оглавление
- •Введение
- •1 Методические указания к решению и оформлению задач
- •2 Принятые обозначения
- •3 Тема 1 комплексный чертеж монжа (точка, прямая)
- •3.1 Комплексный чертёж точки Упражнения
- •3.2 Комплексный чертёж прямой Упражнения
- •Примеры решения задач:
- •Дополнительные задачи
- •4 Тема 2 Комплексный чертеж Монжа (плоскость) Вопросы самоконтроля
- •Упражнения
- •Дополнительные задачи
- •5 Тема 3. Взаимное положение прямых и плоскостей Вопросы самоконтроля
- •Упражнения
- •Примеры решения задач:
- •Дополнительные задачи
- •6 Тема 4 Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей
- •Упражнения
- •Примеры решения задач:
- •Дополнительные задачи
- •7 Тема 5 способы преобразования чертежа
- •Упражнения
- •Примеры решения задач:
- •7.4Дополнительные задачи
- •8.Тема 6 кривые линии и поверхности
- •Упражнения
- •Задачи.
- •Примеры решения задач:
- •Дополнительные задачи
- •9 Тема 7.Многогранные поверхности
- •Упражнения
- •Примеры решения задач:
- •Дополнительные задачи
- •10 Тема 8. Взаимное пересечение поверхностей
- •Упражнения
- •Примеры решения задач:
- •10.4 Дополнительные задачи
- •Библиографический список
Примеры решения задач:
Задача 1 Задана фронтальная проекция точек М(М2) и N (N2) на видимых гранях поверхности.
Решение: Так как каждая грань – это плоскость, ограниченная многоугольником, для грани действуют все признаки инцидентности, определенные для плоскости.
Для построения горизонтальной проекции точки М1 нужно в грани построить любую прямую, проходящую через точку М, тогда соответствующие проекции точки будут лежать на проекциях этой прямой. Удобно использовать прямую, параллельную ребру основания, например (12М2 || (В2С2)→(11М1) ||(В1С1). Можно также через проекцию N2(SBC) и вершину S2 провести прямую (S22 2)→( S121) и по линии связи взять N1. В призме через N2 проводим прямую линию (N222)|| (B2B12) и на ней по линии связи (N2N1) находим.N1. использование свойства параллельности и заданных вершин сокращает объем работы.
Задача 2 Построить линию сечения пирамиды плоскостью Г.
Решение. На рисунке показана линия (1–2–3) сечения пирамиды плоскостью Г (Г2), которая строится по точкам 12 –22 – 32 пересечения фронтальных проекций ребер с проекцией секущей плоскости.
Фигура сечения (1 – 2 – 3) многогранника плоскостью Г, которая параллельна его основанию, подобна фигуре основания..
Задача 3 Построить линию пересечения прямой l(ll) с многогранной поверхностью.
Решение. Для определения точек (MN) пересечения прямой l с многогранной поверхностью используют проецирующую плоскость. Например, , далее строят сечение (1–2–3) поверхности и в пересечении проекции прямой с многоугольником сечения находят искомые точки:
. Видимость определяется с помощью конкурирующих точек.
Можно вести плоскость ∆ параллельно боковым ребрам призмы. Для этого на прямой l выбирают точку 1(l1 – l2) , через нее проводят прямую b (b1b2)параллельно проекциям боковых ребер и определяют линию пересечения (2 – 3) (22 – 32) (21 – 31) плоскости основания призмы с построенной плоскостью. Плоскость Δ(l∩b)пересечет призму по прямым параллельным боковым ребрам. Начинаются эти прямые в точках 4 1и 51 пересечения следа (21–31) с фигурой основания. Их пересечение с l1 определит точки M1 –→ M2 и N1→ N2 пересечения прямой с призмой.
Задача 4 Построить линии пересечения пирамиды и призмы способом ребер. При выборе плоскостей посредников рекомендуется проанализировать возможные варианты и выбрать наиболее простой. Для решения задачи выбраны фронтальные плоскости уровня Θ||Γ||Σ||П2. Они удобны тем, что пересекают пирамиду по треугольникам, подобным треугольнику G2 S2 L2.
Построения сводятся к тому, что на пересечении проекции Θ1 плоскости Θ, проходящей через ребро EE' призмы, с ребрами пирамиды отмечаем проекции 61,71,81 точек, по линиям связи отмечаем 62, 82 и через них проводим прямые, параллельные соответственно ребрам G2 S2. и L2 S2.
Эти прямые пересекутся в точке 72 ребра K2 S2 и в точках 1 1'2 12' и с проекцией ребра призмы. По линиям связи находим Точки 1(1112)=(EE')(GSK) и 1'() = ….. являются точками пересечения ребра призмы с гранями пирамиды. Отрезок …. Проходит внутри пирамиды. Точки лежат на видимых гранях призмы и пирамиды, следовательно, они тоже видимые. Плоскость… проходит через ребра …. И …. Пирамиды и пересекают призму по прямоугольнику (). Точки 2……….. являются видимыми точками пересечения боковых ребер пирамиды с гранями призмы. Отрезки ……являются частью линии пересечения многогранников. Горизонтальные проекции () и () не видны, так как принадлежат невидимой на виде сверху грани () призмы. Через ребро ….. проведена плоскость .
Через точки 11 и 12 проводим прямые параллельно боковым ребрам пирамиды ….. и отмечаем точки ……; их пересечения с ребром … призмы. соединяем …… основными линиями, так как точки видимые, а ….. - штриховыми линиями, так как точки 3 и 31 принадлежат невидимым на фронтали проекциям грани GSH. и LSH. пирамиды.
Для определения точек 4 и 4' пересечения ребра FF׀. Призмы с пирамидой были также использованы плоскости уровня.
Соединяем точки 3–4 и 4–5 с учетом их видимости. Фигуры (1–2–3–4–5) и (1'–2'–3'–4'–5') являются линиями пересечения данных многогранников. Если нужно выполнить отверстие в многограннике, то эта линия будет являться контуром этого отверстия.