- •Оглавление
- •Глава I. Алгебра матриц
- •1.1. Матрицы. Основные определения
- •1.2. Действия над матрицами
- •1.3. Задания для самостоятельной работы по главе 1
- •Глава 2. Определители
- •2.1. Перестановки и подстановки
- •2.2. Определители и их свойства
- •2.3. Миноры и алгебраические дополнения
- •2.4. Вычисление определителей n-го порядка
- •2.5. Задания для самостоятельной работы по главе 2
- •Глава 3. Алгебра матриц (продолжение)
- •3.1. Обратная матрица
- •3.2. Ранг матрицы
- •3.3. Линейная зависимость и независимость строк матрицы
- •3.4. Многочленные матрицы
- •3.5. Задания для самостоятельной работы по главе 3
- •Глава 4. Решение системы линейных уравнений
- •4.1. Система линейных уравнений
- •4.2. Методы решения системы n линейных уравнений с n неизвестными
- •4.3. Теорема Кронекера-Капелли
- •4.4. Метод Жордана-Гаусса
- •4.5. Однородные системы линейных уравнений
- •4.6. Задания для самостоятельной работы по главе 4
- •Глава 5. Векторные пространства
- •5.1. Понятие векторного пространства
- •5.2. Линейная зависимость и независимость векторов
- •5.3. Базис векторного пространства
- •5.4. Изоморфизм векторных пространств
- •5.5. Преобразование координат при изменении базиса
- •5.6. Евклидово пространство
- •5.7. Ортогональные преобразования
- •5.8. Выпуклые множества
- •5.9. Задания для самостоятельной работы по главе 5
- •Глава 6. Линейные операторы
- •6.1. Определение линейного оператора
- •6.2. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение
- •6.3. Собственный вектор и собственное число линейного оператора
- •6.4. Задания для самостоятельной работы по главе 6
- •Глава 7. Квадратичные формы
- •7.1. Определение квадратичной формы
- •7.2. Линейное преобразование переменных в квадратичной форме
- •7.3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду
- •7.4. Положительно определенные квадратичные формы
- •7.5. Задания для самостоятельной работы по главе 7
- •Глава 8. Элементы общей алгебры
- •8.1. Алгебраические операции
- •8.2. Полугруппы и моноиды
- •8.3. Группы: определение и примеры
- •8.4. Циклические группы. Группы подстановок
- •8.5. Кольца: определение, свойства, примеры
- •8.6. Поле
- •8.7. Задания для самостоятельной работы по главе 8
- •Глава 9. Элементы теории чисел
- •9.1. Наибольший общий делитель
- •9.2. Наименьшее общее кратное
- •9.3. Простые числа
- •9.4. Сравнения и классы вычетов
- •9.5. Функция Эйлера
- •9.6. Функция Мебиуса
- •9.7. Задания для самостоятельной работы по главе 9
- •Список литературы
3.2. Ранг матрицы
Рассмотрим прямоугольную матрицу . Выделим в матрице произвольно k строк и k столбцов .Определитель Мк, стоящий на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором k-го порядка матрицы А. Число миноров k-го порядка равно .
Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля ее миноров.
Ранг матрицы обозначается r(A). Ранг матрицы равен нулю только у нулевой матрицы. Если матрица отлична от нулевой, то
.
Если ранг матрицы равен r, то среди миноров этой матрицы есть, по крайней мере, один минор порядка r, отличный от нуля, а все миноры порядков (r+1) и выше равны нулю. Следует отметить, что если все миноры некоторого порядка матрицы А равны нулю, то равны нулю все миноры более высоких порядков. Справедливость этого утверждения следует из теоремы о разложении определителя.
Одним из способов вычисления ранга матрицы является метод элементарных преобразований матрицы.
Перечислим элементарные преобразования:
-
Перестановка двух строк или столбцов.
-
Умножение всех элементов строки или столбца на любое число, отличное от нуля.
-
Прибавление ко всем элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.
Теорема. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.
Доказательство. Справедливость теоремы относительно преобразований 1и 2 доказывается на основании соответствующих свойств определителей.
Докажем теорему относительно преобразования 3. Рассмотрим матрицу В, полученную из матрицы A прибавлением к i-му столбцу k-го столбца, умноженного на число :
.
Пусть ранг матрицы А равен r(А). Покажем, что . Для этого докажем, что любой минор порядка r+1 матрицы В равен нулю.
Рассмотрим минор матрицы В, который не содержит i-ый столбец. В этом случае в точности соответствует некоторому минору порядка r+1 матрицы А и, следовательно, равен нулю. Если минор содержит i-ый и k-ый столбцы, то по свойству определителей он равен сумме двух миноров порядка r+1, причем один из них равен нулю, так как совпадает с минором (r+1)-го порядка матрицы А, а второй минор равен нулю, так как i-ый и k-ый столбцы его пропорциональны.
Пусть минор содержит i-ый столбец, но не содержит k-ый столбец. В этом случае минор равен сумме двух миноров, один из которых совпадает с минором порядка (r+1) матрицы А и поэтому равен нулю, а второй минор равен нулю, так как отличается от соответствующего минора матрицы А множителем .
Таким образом,
|
(3.2.1) |
Матрицу А можно получить из матрицы В с помощью элементарного преобразования 3, следовательно,
|
(3.2.2) |
Из полученных равенств (3.2.1) и (3.2.2) следует, что .
Теорема доказана.
С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к виду, содержащему единичную подматрицу порядка r.
Пример. Вычислить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.
.
Решение. Осуществим над матрицей А элементарные преобразования:
.
Прибавим ко второй строке матрицы первую строку, умноженную на (–2), третью строку оставим без изменения, к четвертой строке прибавим первую строку, умноженную на (–1). Получим матрицу
.
Прибавим первый столбец, умноженный на (–2), на (–4), на (–5) и на (–2) соответственно ко второму, третьему, четвертому и пятому столбцам. Затем вторую строку прибавим к третьей и четвертой строкам. Умножим вторую строку на –1. Получим:
.
Прибавим второй столбец, умноженный на нужные множители, к третьему, четвертому и пятому столбцам:
.
r(A)=2.
Определение. Минор , отличный от нуля, называется базисным минором матрицы. Число базисных миноров матрицы А= не больше чем . Строки и столбцы, на пересечении которых стоит некоторый базисный минор, называются базисным.