- •Оглавление
- •Глава I. Алгебра матриц
- •1.1. Матрицы. Основные определения
- •1.2. Действия над матрицами
- •1.3. Задания для самостоятельной работы по главе 1
- •Глава 2. Определители
- •2.1. Перестановки и подстановки
- •2.2. Определители и их свойства
- •2.3. Миноры и алгебраические дополнения
- •2.4. Вычисление определителей n-го порядка
- •2.5. Задания для самостоятельной работы по главе 2
- •Глава 3. Алгебра матриц (продолжение)
- •3.1. Обратная матрица
- •3.2. Ранг матрицы
- •3.3. Линейная зависимость и независимость строк матрицы
- •3.4. Многочленные матрицы
- •3.5. Задания для самостоятельной работы по главе 3
- •Глава 4. Решение системы линейных уравнений
- •4.1. Система линейных уравнений
- •4.2. Методы решения системы n линейных уравнений с n неизвестными
- •4.3. Теорема Кронекера-Капелли
- •4.4. Метод Жордана-Гаусса
- •4.5. Однородные системы линейных уравнений
- •4.6. Задания для самостоятельной работы по главе 4
- •Глава 5. Векторные пространства
- •5.1. Понятие векторного пространства
- •5.2. Линейная зависимость и независимость векторов
- •5.3. Базис векторного пространства
- •5.4. Изоморфизм векторных пространств
- •5.5. Преобразование координат при изменении базиса
- •5.6. Евклидово пространство
- •5.7. Ортогональные преобразования
- •5.8. Выпуклые множества
- •5.9. Задания для самостоятельной работы по главе 5
- •Глава 6. Линейные операторы
- •6.1. Определение линейного оператора
- •6.2. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение
- •6.3. Собственный вектор и собственное число линейного оператора
- •6.4. Задания для самостоятельной работы по главе 6
- •Глава 7. Квадратичные формы
- •7.1. Определение квадратичной формы
- •7.2. Линейное преобразование переменных в квадратичной форме
- •7.3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду
- •7.4. Положительно определенные квадратичные формы
- •7.5. Задания для самостоятельной работы по главе 7
- •Глава 8. Элементы общей алгебры
- •8.1. Алгебраические операции
- •8.2. Полугруппы и моноиды
- •8.3. Группы: определение и примеры
- •8.4. Циклические группы. Группы подстановок
- •8.5. Кольца: определение, свойства, примеры
- •8.6. Поле
- •8.7. Задания для самостоятельной работы по главе 8
- •Глава 9. Элементы теории чисел
- •9.1. Наибольший общий делитель
- •9.2. Наименьшее общее кратное
- •9.3. Простые числа
- •9.4. Сравнения и классы вычетов
- •9.5. Функция Эйлера
- •9.6. Функция Мебиуса
- •9.7. Задания для самостоятельной работы по главе 9
- •Список литературы
3.5. Задания для самостоятельной работы по главе 3
3.1. Найти обратную матрицу
.
3.2. Найти обратную матрицу порядка n
.
3.3. Найти обратную матрицу порядка n
.
3.4. Найти обратную матрицу порядка n
.
3.5. Найти обратную матрицу
.
3.6. Найти обратную матрицу порядка (n+1)
.
3.7. Найти обратную матрицу порядка n
.
3.8. Как изменится обратная матрица , если в данной матрице :
а) переставить i-ую и j-ую строки?
б) i-ую строку умножить на число с, не равное нулю?
в) к i-ой строке прибавить j-ую, умноженную на число с, или совершить аналогичное преобразование столбцов?
3.9. Найти матрицу , обратную для матрицы , где и – единичные матрицы соответственно порядков k и l, U – произвольная матрица порядка , а все остальные элементы равны нулю.
3.10. Показать, что операция транспонирования матрицы обладает свойствами:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ,
где с – число, а А и В – матрицы.
3.12. Доказать, что если А и В – симметрические квадратные матрицы одинакового порядка, то матрица является симметрической.
3.12. Показать, что для любой матрицы В матрица является симметрической.
3.13. Квадратная матрица порядка n называется ортогональной, если , где Е – единичная матрица. Показать, что для ортогональности квадратной матрицы А необходимо и достаточно любое из следующих условий:
а) столбцы А образуют ортонормированную систему, т.е.
,
где – символ Кронекера, обозначающий 1 при i=j и 0 при ;
б) строки А образуют ортонормированную систему, т.е.
.
3.14. Доказать, что ранг суммы двух матриц не больше суммы их рангов.
3.15. Доказать, что если ранг матрицы А равен r, то минор d, стоящий на пересечении любых r линейно независимых строк и r линейно независимых столбцов этой матрицы, отличен от нуля.
Глава 4. Решение системы линейных уравнений
4.1. Система линейных уравнений
Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система m алгебраических уравнений первой степени вида
(4.1.1) |
где - неизвестные, подлежащие определению;
- числа, называемые коэффициентами при неизвестных;
- числа, называемые свободными членами.
Решением системы уравнений (4.1.1) называется совокупность n чисел таких, что если в каждое уравнение системы вместо неизвестных подставить эти числа ( вместо , вместо вместо ), то все уравнения обратятся в тождества.
Если система линейных уравнений (4.1.1) имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. В противном случае система называется несовместной.
Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной, а система, имеющая более одного решения – неопределенной.
Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если любое решение каждой из них является одновременно решением и другой системы.
Две произвольные несовместные системы считаются эквивалентными.
Системе линейных уравнений (4.1.1) поставим в соответствие матрицу и расширенную матрицу
,
полученную присоединением к матрице А столбца свободных членов.
4.2. Методы решения системы n линейных уравнений с n неизвестными
Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными
(4.2.1) |
Определитель |A| матрицы А называется определителем системы (4.2.1).
Теорема Крамера. Если определитель |A| системы (4.2.1) отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение.
Доказательство. Пусть система (4.2.1) совместна и - одно из ее решений. Тогда получим n тождеств:
(4.2.2) |
Умножим обе части первого из равенств (4.2.2) на алгебраическое дополнение , обе части второго равенства умножим на алгебраическое дополнение и т.д. и обе части n-ого равенства – на . Складывая левые и правые части полученных выражений, придем к следующему равенству:
(4.2.3) |
Коэффициент при равен определителю |A| системы (4.2.1), коэффициент при равен нулю, а правая часть равенства (4.2.3) является определителем, полученным из определителя |A| путем замены j-го столбца столбцом свободных членов.
Обозначим данный определитель через
Тогда равенство (4.2.3) примет вид: , откуда
(4.2.4) |
Из формулы (4.2.4) следует, что если система (4.2.1) совместна, то она обладает единственным решением.
Формулы (4.2.4) называются формулами Крамера.
Непосредственной подстановкой значений , во все уравнения системы убедимся в том, что они образуют ее решение:
.
При , при , .
Таким образом, получим
.
Теорема доказана.
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решение. Вычислим определитель :
,
,
,
откуда
Решение системы линейных уравнений с определителем |A|, отличным от нуля, можно найти с помощью обратной матрицы. Для этого запишем систему (4.2.1) в виде матричного уравнения
АХ=В |
(4.2.5) |
где .
Решение матричного уравнения (4.2.5) имеет вид
(4.2.6) |
Пример. Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы
Решение. Вычислим для матрицы
ее обратную матрицу
.
Определим неизвестную матрицу-столбец Х:
,
откуда
Формулы Крамера (4.2.4) могут быть получены из выражения (4.2.6). Действительно, запишем матричное равенство в развернутом виде:
.
Из полученного выражения непосредственно следуют формулы Крамера:
.