5.2. Линейная зависимость и независимость векторов

Важную роль в дальнейшем изложении будет играть понятие линейной зависимости и независимости векторов.

Определение. Пусть R – векторное пространство. Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что

(5.2.1)

Векторы, не являющиеся линейно зависимыми называются линейно независимыми. Другими словами, векторы называются линейно независимыми, если равенство (5.2.1) выполняется, тогда и только тогда, когда ,,…,.

Пусть векторы линейно зависимы, т.е. пусть в соотношении (5.2.1) хотя бы один из коэффициентов, например, отличен от нуля. Тогда

и, разделив на и положив

,,…,,

получим

(5.2.2)

Если вектор выражается через векторы в виде (5.2.2), то говорят, что есть линейная комбинации векторов .

Таким образом, если векторы линейно зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных. Верно и обратное утверждение: векторы, один из которых есть линейная комбинация остальных, линейно зависимы. На прямой любые два вектора пропорциональны, т.е. линейно зависимы. На плоскости можно найти два линейно независимых вектора, но всякие три вектора линейно зависимы. Если R – совокупность векторов трехмерного пространства, то три линейно независимых вектора в R можно найти, но всякие четыре вектора линейно зависимы. Из приведенных примеров мы видим, что максимальное число линейно независимых векторов на прямой, плоскости, в трехмерном пространстве совпадает с тем, что в аналитической геометрии принято называть размерностью прямой, плоскости, пространства.

Введем определение размерности векторного пространства.

Определение. Векторное пространство R называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, но больше чем n линейно независимых векторов оно не содержит. Векторное пространство размерности n обозначается R_n.

Если в пространстве R можно найти любое число линейно независимых векторов, то R называется бесконечномерным. Бесконечномерные пространства составляют предмет специального изучения. В линейной алгебре изучаются только конечномерные пространства.

5.3. Базис векторного пространства

Определение. Совокупность n линейно независимых векторов пространства R_n называется его базисом. Согласно определению n мерного векторного пространства R_n в нем существует n линейно независимых векторов, т.е. существует базис.

Теорема. Каждый вектор векторного пространства можно представить, и притом единственным образом как линейную комбинацию векторов базиса.

Доказательство. Пусть, векторы образуют базис в R_n. Присоединим к ним произвольный вектор из R_n. Так как каждая система из (n+1) векторов пространства R_n линейно зависима, то линейно зависима и система , т.е. существуют такие не равные одновременно нулю числа

что

(5.3.1)

При этом , так как иначе из формулы (5.3.1) следовала бы линейная зависимость векторов . Выражая из (5.3.1) вектор , получим

Полагая , , будем иметь

Данное представление вектора через векторы единственно, так как если и , то . Ввиду линейной независимости векторов , , откуда .

Таким образом, если в n-мерном векторном пространстве R_n задан базис , то, используя выражение можно установить взаимно однозначное соответствие между векторами этого пространства и упорядоченными последовательностями из n чисел . Числа будем называть координатами вектора в базисе и будем писать . Из приведенной теоремы следует, что два вектора и в R_n равны тогда и только тогда, когда их координаты в базисе равны, т.е. когда .

Рассмотрим действия над векторами в координатной форме.

Пусть в пространстве R_n задан базис . Так как любой вектор из R_n можно представить, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е.

,

то на основании аксиом, которым удовлетворяют операции сложения и умножения на число, имеем

,

.

Отсюда следует, что если векторы пространства R_n, заданы своими координатами относительно некоторого базиса , то при сложении векторов или умножении их на число координаты векторов соответственно складываются или умножаются на . Таким образом,

,

и если

где

,

,

…………………….

,

,

то

,

,

………………………………..

.

У нулевого вектора все координата равны нулю, так как из равенства ввиду линейной независимости векторов , вытекает, что . Вектор, противоположный к равен так как .

Примеры.

1. Для случая трехмерного пространства R₃ определение координат вектора совпадает с имеющимся в аналитической геометрии определением координат вектора в некоторой системе координат.

2. Пусть R_n – пространство, векторами которого являются упорядоченные системы из n чисел.

Очевидно, что n векторов

,

,

………………..

,

образуют базис этого пространства. Найдем координаты вектора в этом базисе:

Отсюда следует, что числа можно рассматривать как координаты вектора в базисе пространства .

III. - пространство, векторами которого являются многочлены степени меньшей либо равной (). Простейшим базисом является совокупность векторов . Тогда координатами многочлена в этом базисе являются его коэффициенты . Выберем другой базис: . Каждый многочлен по формуле Тейлора может быть представлен в виде . Таким образом, в этом базисе P(t) имеет координаты .