- •Оглавление
- •Глава I. Алгебра матриц
- •1.1. Матрицы. Основные определения
- •1.2. Действия над матрицами
- •1.3. Задания для самостоятельной работы по главе 1
- •Глава 2. Определители
- •2.1. Перестановки и подстановки
- •2.2. Определители и их свойства
- •2.3. Миноры и алгебраические дополнения
- •2.4. Вычисление определителей n-го порядка
- •2.5. Задания для самостоятельной работы по главе 2
- •Глава 3. Алгебра матриц (продолжение)
- •3.1. Обратная матрица
- •3.2. Ранг матрицы
- •3.3. Линейная зависимость и независимость строк матрицы
- •3.4. Многочленные матрицы
- •3.5. Задания для самостоятельной работы по главе 3
- •Глава 4. Решение системы линейных уравнений
- •4.1. Система линейных уравнений
- •4.2. Методы решения системы n линейных уравнений с n неизвестными
- •4.3. Теорема Кронекера-Капелли
- •4.4. Метод Жордана-Гаусса
- •4.5. Однородные системы линейных уравнений
- •4.6. Задания для самостоятельной работы по главе 4
- •Глава 5. Векторные пространства
- •5.1. Понятие векторного пространства
- •5.2. Линейная зависимость и независимость векторов
- •5.3. Базис векторного пространства
- •5.4. Изоморфизм векторных пространств
- •5.5. Преобразование координат при изменении базиса
- •5.6. Евклидово пространство
- •5.7. Ортогональные преобразования
- •5.8. Выпуклые множества
- •5.9. Задания для самостоятельной работы по главе 5
- •Глава 6. Линейные операторы
- •6.1. Определение линейного оператора
- •6.2. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение
- •6.3. Собственный вектор и собственное число линейного оператора
- •6.4. Задания для самостоятельной работы по главе 6
- •Глава 7. Квадратичные формы
- •7.1. Определение квадратичной формы
- •7.2. Линейное преобразование переменных в квадратичной форме
- •7.3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду
- •7.4. Положительно определенные квадратичные формы
- •7.5. Задания для самостоятельной работы по главе 7
- •Глава 8. Элементы общей алгебры
- •8.1. Алгебраические операции
- •8.2. Полугруппы и моноиды
- •8.3. Группы: определение и примеры
- •8.4. Циклические группы. Группы подстановок
- •8.5. Кольца: определение, свойства, примеры
- •8.6. Поле
- •8.7. Задания для самостоятельной работы по главе 8
- •Глава 9. Элементы теории чисел
- •9.1. Наибольший общий делитель
- •9.2. Наименьшее общее кратное
- •9.3. Простые числа
- •9.4. Сравнения и классы вычетов
- •9.5. Функция Эйлера
- •9.6. Функция Мебиуса
- •9.7. Задания для самостоятельной работы по главе 9
- •Список литературы
8.5. Кольца: определение, свойства, примеры
Непустое множество К, на котором заданы две бинарные операции—сложение (+) и умножение (•), удовлетворяющие условиям:
-
относительно операции сложения К — коммутативнаятруппа;
-
относительно операции умножения К — полугруппа;
-
операции сложения и умножения связаны законом дистрибутивности, т. е. (a+b)с=ас+bс, с(a+b) =ca+cb для всех а, b, cK, называется кольцом (К,+,•).
Структура (К, +) называется аддитивной группой кольца. Если операция умножения коммутативна, т. е. ab=ba. для всех а, b, то кольцо называется коммутативным.
Если относительно операции умножения существует единичный элемент, который в кольце принято обозначать единицей 1,. то говорят, что К есть кольцо с единицей.
Подмножество L кольца называется подкольцом, если L— подгруппа аддитивной группы кольца и L замкнуто относительно операции умножения, т. е. для всех a, bL выполняется а+bL и abL.
Пересечение подколец будет подкольцом. Тогда, как и в случае групп, подкольцом, порожденным множеством SK, называется пересечение всех подколец К, содержащих S.
Примеры.
1. Множество целых чисел относительно операций умножения и сложения (Z, +, •)—коммутативное кольцо. Множества nZ целых чисел, делящихся на п, будет подкольцом без единицы при п>1.
Аналогично множество рациональных и действительных чисел — коммутативные кольца с единицей.
-
Множество квадратных матриц порядка п относительно-операций сложения и умножения матриц есть кольцо с единицей Е — единичной матрицей. При п>1 оно некоммутативное.
-
Пусть K—произвольное коммутативное кольцо. Рассмотрим всевозможные многочлены
с переменной х и коэффициентами а0, а1, а2, ..., аn, из К. Относительно алгебраических операций сложения и умножения многочленов— это коммутативное кольцо. Оно называется кольцом многочленов К от переменной х над кольцом К (например, над кольцом целых, рациональных, действительных чисел). Аналогично определяется кольцо многочленов K[x1,...,хm] от т переменных как кольцо многочленов от одной переменной хт над кольцом K[x1, ..., хm-1].
4. Пусть X — произвольное множество, К—произвольное кольцо. Рассмотрим множество всех функций f: ХК, определенных на множестве X со значениями в К Определим сумму и произведение функций, как обычно, равенствами
(f+g)(x)=f(x)+g(x); (fg)(x)=f(x)g(x),
где + и • — операции в кольце К.
Нетрудно проверить, что все условия, входящие в определение кольца, выполняются, и построенное кольцо будет коммутативным, если коммутативно исходное кольцо K. Оно называется кольцом функций на множестве X со значениями в кольце К.
Многие свойства колец — это переформулированные соответствующие свойства групп и полугрупп, например: aman=am+n, (ат)п=атп для всех m, n и всех a.
Другие специфические свойства колец моделируют свойства чисел:
-
для всех a a0=0a=0;
-
.(-а)b=а(-b)=-(ab);
-
- a=(-1)a.
Действительно:
1)
2) 0=a(аналогично (-a)b=-(ab));
3) используя второе свойство, имеем-a= (-a)1 =a(-1) = (-1)a.
8.6. Поле
В кольцах целых, рациональных и действительных чисел из того, что произведение ab=0, следует, что либо а=0, либо b=0. Но в кольце квадратных матриц порядка n>1 это свойство уже не выполняется, так как, например, =.
Если в кольце К ab=0 при а0, b, то а называется левым, а b — правым делителем нуля. Если в К нет делителей нуля (кроме элемента 0, который является тривиальным делителем нуля), то K называется кольцом без делителей нуля.
Пример.
-
В кольце функции f: RR на множестве действительных чисел R рассмотрим функции f1(x)=|x|+x; f2(x) =|x|-x. Для них f1(x)=0 при x и f2(x)=0 при x, а поэтому произведение f1(x) f2(x) — нулевая функция, хотя f1(x) и f2(x). Следовательно, в этом кольце есть делители нуля.
-
Рассмотрим множество пар целых чисел (а, b), в котором заданы операции сложения и умножения:
(a1, b1)+(a2, b2)=(a1+a2, b1+b2);
(a1, b1)(a2, b2)= (a1a2, b1b2).
Это множество образует коммутативное кольцо с единицей (1,1) и делителями нуля, так как (1,0)(0,1)=(0,0).
Если в кольце нет делителей нуля, то в нем выполняется закон сокращения, т. е. ab=ac, а=с. Действительно, ab-ac=0a(b-c)=0 (b-c)=0 b=c.
Пусть К — кольцо, с единицей. Элемент а называется обратимым, если существует такой элемент а-1, для которого aa-1=a-1a=1.
Обратимый элемент не может быть делителем нуля, так как. если ab=0, то a-1(ab) =0(a-1a)b=01b=0b=0 (аналогично ba=0).
Теорема. Все обратимые элементы кольца К с единицей образуют группу относительно умножения.
Действительно, умножение в К ассоциативно, единица содержится во множестве обратимых элементов и произведение не выводит из множества обратимых элементов, так как если а и b обратимы, то (аb)-1=b-1a-1.
Важную алгебраическую структуру образуют коммутативные кольца К, в которых каждый ненулевой элемент обратим,, т. е. относительно операции умножения множество K\{0} образует группу. В таких кольцах определены три операции: сложение, умножение и деление.
Коммутативное кольцо Р с единицей 10, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется полем.
Относительно умножения все отличные от нуля элементы поля образуют группу, которая называется мультипликативной группой поля.
Произведение аb-1 записывается в виде дроби и имеет смысл лишь при b0. Элемент является единственным решением уравнения bx=a. Действия с дробями подчиняются привычным для нас правилам:
=
Докажем, например, второе из них. Пусть х= и у= - решения уравнений bx=a, dy=c. Из этих уравнений следует dbx=da, bdy=bcbd(x+y)=da+bct= - единственное решение уравнения bdt=da+bc.
Пример.
1. Кольцо целых чисел не образует поля. Полем является множество рациональных и множество действительных чисел.