- •Оглавление
- •Глава I. Алгебра матриц
- •1.1. Матрицы. Основные определения
- •1.2. Действия над матрицами
- •1.3. Задания для самостоятельной работы по главе 1
- •Глава 2. Определители
- •2.1. Перестановки и подстановки
- •2.2. Определители и их свойства
- •2.3. Миноры и алгебраические дополнения
- •2.4. Вычисление определителей n-го порядка
- •2.5. Задания для самостоятельной работы по главе 2
- •Глава 3. Алгебра матриц (продолжение)
- •3.1. Обратная матрица
- •3.2. Ранг матрицы
- •3.3. Линейная зависимость и независимость строк матрицы
- •3.4. Многочленные матрицы
- •3.5. Задания для самостоятельной работы по главе 3
- •Глава 4. Решение системы линейных уравнений
- •4.1. Система линейных уравнений
- •4.2. Методы решения системы n линейных уравнений с n неизвестными
- •4.3. Теорема Кронекера-Капелли
- •4.4. Метод Жордана-Гаусса
- •4.5. Однородные системы линейных уравнений
- •4.6. Задания для самостоятельной работы по главе 4
- •Глава 5. Векторные пространства
- •5.1. Понятие векторного пространства
- •5.2. Линейная зависимость и независимость векторов
- •5.3. Базис векторного пространства
- •5.4. Изоморфизм векторных пространств
- •5.5. Преобразование координат при изменении базиса
- •5.6. Евклидово пространство
- •5.7. Ортогональные преобразования
- •5.8. Выпуклые множества
- •5.9. Задания для самостоятельной работы по главе 5
- •Глава 6. Линейные операторы
- •6.1. Определение линейного оператора
- •6.2. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение
- •6.3. Собственный вектор и собственное число линейного оператора
- •6.4. Задания для самостоятельной работы по главе 6
- •Глава 7. Квадратичные формы
- •7.1. Определение квадратичной формы
- •7.2. Линейное преобразование переменных в квадратичной форме
- •7.3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к каноническому виду
- •7.4. Положительно определенные квадратичные формы
- •7.5. Задания для самостоятельной работы по главе 7
- •Глава 8. Элементы общей алгебры
- •8.1. Алгебраические операции
- •8.2. Полугруппы и моноиды
- •8.3. Группы: определение и примеры
- •8.4. Циклические группы. Группы подстановок
- •8.5. Кольца: определение, свойства, примеры
- •8.6. Поле
- •8.7. Задания для самостоятельной работы по главе 8
- •Глава 9. Элементы теории чисел
- •9.1. Наибольший общий делитель
- •9.2. Наименьшее общее кратное
- •9.3. Простые числа
- •9.4. Сравнения и классы вычетов
- •9.5. Функция Эйлера
- •9.6. Функция Мебиуса
- •9.7. Задания для самостоятельной работы по главе 9
- •Список литературы
5.4. Изоморфизм векторных пространств
Определение. Векторные пространства R и R’ называются изоморфными, если между их векторами-элементами можно установить взаимно однозначное соответствие такое, что если и , где , , то и .
Из определения изоморфизма следует, что если ,... - векторы из R, a ,... - вектора из R', то равенство равносильно равенству . Следовательно, линейно независимым векторам из R соответствуют линейно независимые векторы из R' и обратно.
Пространства различной размерности не могут быть между собой изоморфны. В самом деле, пусть R и R' изоморфны. Тогда максимальное число линейно независимых векторов в R и R' одно и то же, т.е. размерности пространств R и R' равны.
Все пространства, имеющие одну и ту же размерность n, изоморфны между собой.
5.5. Преобразование координат при изменении базиса
Пусть и - два базиса пространства Rn. Каждый вектор можно выразить через векторы :
,
………………………………
|
(5.5.1) |
Выражения (5.5.1) показывают, что новые базисные векторы получаются из старых базисных векторов с помощью матрицы:
,
причем коэффициенты их разложений по старым базисным векторам образуют столбцы этой матрица.
Матрица А называется матрицей перехода от базиса к базису . Определитель матрицы А отличен от нуля, так как в противном случае ее столбцы, а следовательно, и векторы были бы линейно зависимы.
Рассмотрим, как связаны между собой координаты одного и того же вектора в старом и новом базисах. Пусть
|
(5.5.2) |
и в то же время
|
(5.5.3) |
Подставим в (5.5.3) вместо их выражения из (5.5.1):
(5.5.4) |
Из (5.5.2) и (5.5.4) в силу единственности разложения вектора по базису получаем
,
или в матричном виде
X=AX', |
(5.5.5) |
где , .
Уравнение (5.5.5.) показывает связь между координатами хj и x'j вектора в базиcах и , .
Из (5.5.5.) получаем:
X'=А-1Х
Таким образом, при переходе от базиса к базису координаты вектора преобразуются с помощью матрицы А-1, являющейся обратной к транспонированной матрице, задающей преобразование базисов.
Пример. В базисе , , пространства R3 заданы векторы , , , . Показать, что векторы образует базис. Найти координаты вектора в базисе . Выразить связь между базисами и .
Решение. Векторы образуют базис пространства R3, если они линейно независимы. Векторы линейно независимы если векторное равенство выполняется тогда и только тогда, когда , , . Найдем решение векторного равенства
методом Жордана-Гаусса.
|
|
|
|
откуда .
Система векторов линейно независима и, следовательно, образует базис в R3.
Выразим каждый вектор через векторы :
Матрица А перехода от базиса к базису имеет вид:
.
Вычислив
,
определим координаты вектора в новом базисе
.
Таким образом, в базисе вектор определяется координатами .
Связь между базисом и базисом определяется из следующих соотношений:
,
,
,
или в матричном виде:
E=XA,
где
.
Решение данного матричного уравнения имеет вид X=A-1, откуда получаем
,
,
,
Данные соотношения выражают связь между базисами.