8.7. Задания для самостоятельной работы по главе 8

8.1. Определить, является ли операция нахождения скалярного произведения векторов n-мерного евклидового пространства коммутативной и ассоциативной. Обосновать ответ.

8.2. Определить, является ли множество квадратных матриц порядка n относительно операции умножения матриц, группой или моноидом.

8.3. Указать, какие из следующих множеств образуют группу относительно операции умножения:

а) множество целых чисел;

б) множество рациональных чисел;

в) множество действительных чисел, отличных от нуля.

8.4. Определить, какие из следующих структур образует множество квадратных матриц порядка n с определителем, равным единице: относительно обычных операций сложения и умножения матриц:

а) группу;

б) кольцо;

в) поле.

8.5. Указать, какую структуру образует множество целых чисел относительно операции умножения и сложения:

а) некоммутативное кольцо;

б) коммутативное кольцо;

в) поле.

8.6. Какую из перечисленных ниже структур образует множество матриц вида с действительными a и b относительно обычных операций сложения и умножения матриц:

а) кольцо;

б) поле.

8.7. Какое число нужно исключить из множества действительных чисел, чтобы оставшиеся числа образовывали группу относительно обычной операции умножения:

а) –1;

б) 1;

в) 0.

8.8. Выяснить, какую из следующих структур образует множество, состоящее из двух элементов a и e, с бинарной операцией, определенной следующим образом:

ee=e, ea=a, ae=a, aa=e.

а) группу;

б) абелеву группу.

8.9. Являются ли кольцом четные числа относительно обычных операций сложения и умножения? Обосновать ответ.

8.10. Является ли кольцом совокупность чисел вида a+b, где a и b – любые рациональные числа, относительно операций сложения и умножения? Ответ обосновать.

Глава 9. Элементы теории чисел

Теория чисел занимается, в основном, изучением свойств целых чисел. Целыми числами называются числа Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Для любых a, в Є Z, a + в – сумма, разность а – в и произведение aв являются целыми числами. Но частное от деления а на в (если в не равно нулю) может быть как целым, так и не целым. В случае, когда частное являются целым, то обозначают а = вq, где q – целое число, а в тогда называют делителем числа а и записывают так: в\а. В общем случае единственным является представление а = вq + r, о ≤ r < в, где r называют остатком от деления.

9.1. Наибольший общий делитель

В дальнейшем будем рассматривать лишь положительные делители чисел. Всякое целое, делящее одновременно целые а, в, ..., с называется их общим делителем. Наибольший из общих делителей называется наибольшим общим делителем (НОД) и обозначается (а, в ... с). Если (а, в... с) = 1, то а, в, ... с называются взаимно простыми.

Например, (10, 15) = 5, (8, 21) = 1.

Свойства наибольшего общего делителя

1. Если а= вq, то (а, в) = в.

2. Если а =вq + r, тогда общие делители чисел a и в суть те же, что и общие делители чисел в и r, в частности, (а, в) = (в, r).

3. Для определения наибольшего общего делителя применяется алгоритм Евклида. Он состоит в следующем. Пусть а и в – положительные целые числа и а > в. Составим ряд равенств:

a = вq₁+ r₂ o < r₂ < в

в = r₂q₂+ r₃ o < r₃ < r₂ (9.1.1)

r₂ = r₃q₃+ r₄ o < r₄ < r₃

………………………………………

r_n-2 = r_n-1 q_n-1 + r_n o < r_n < r_n-1

r_n-1 = r_nq_n,

заканчивающийся, когда получается некоторое r_n+1 = 0. Последнее неизбежно случится, так как ряд в, r₂, r₃, убывающих целых чисел не может содержать более в положительных.

4. Из формул (9.1.1) алгоритма Евклида следует, что (а, в) = (в, r₂) = (r₂, r₃) = … = (r _n-1, r_n) = r_n.

Наибольший общий делитель равен последнему не равному нулю остатку алгоритма Евклида.

5. Из формул алгоритма Евклида следует также, что существуют целые t₁ и t₂, что t₁ a₁ + t₂ в = r_n.

В частности, если (а,в)=1, то t₁ а + t₂в=1.

Пример найдем (525, 231).

525 = 231·2 + 63

231 = 63·3 + 42

63 = 42·1 + 21

42 = 21·2

Последний остаток есть 21, значит, НОД = (525, 231,) = 21