Решение практических задач по теме: «Кривые второго порядка»

П р и м е р 7. Определить и построить кривые:

а) 3 х² + 4 у² = 12;

б) 9 х² – 4 у² = 36;

в) х² = 4 у.

Решение. а) Приводим уравнение к каноническому виду. Для этого обе части уравнения разделим на свободный член, т. е. на 12:

и представим знаменатели в виде квадратов чисел

.

Значит данная кривая – это эллипс (переменные х и у входят в уравнение в квадратах, знаки при них одинаковые положительные). Осями симметрии эллипса служат оси координат, большая полуось а = 2 и малая b = .

Вершинами эллипса являются точки пересечения с осями координат: А₁ (2; 0), А₂ (– 2; 0), В₁ (0; ), В₂ (0; – ).

При построении эллипса обращаем внимание на то, что график представляет собой выпуклую линию, которая в точках А₁ и А₂ перпендикулярна оси Ох, а в точках В₁ и В₂ перпендикулярна оси Оу, т. е. в вершинах эллипс не имеет заострений

б) Приводим уравнение к каноническому виду. Для этого обе части уравнения разделим на свободный член, т. е. на 36:

и представим знаменатели в виде квадратов чисел

.

Значит данная кривая – это эллипс (переменные х и у входят в уравнение в квадратах, знаки при них разные). Положительному знаку при х² геометрически соответствует пересечение с осью Ох. Действительно, при у = 0 уравнение примет вид х² = 4 и имеет два корня х₁ = 2 и х₂ = – 2.

Точки А₁ (2; 0), А₂ (– 2; 0) – вершины гиперболы и лежат на оси Ох, которая является действительной осью симметрии гиперболы.

При х = 0 уравнение примет вид – у² = 9 и решений не имеет. Это означает, что гипербола не пересекается с осью Оу. Аналитически этому факту соответствует знак минус перед у².

Построение начинаем с характеристического прямоугольника со сторонами 2 а = 4 и 2 b = 6 и проводим его диагонали. Они служат асимптотами гиперболы.

Затем строим кривую, обращая внимание на то, что в точках А₁ и А₂ она перпендикулярна оси Ох, а при удалении в бесконечность точки гиперболы неограниченно приближаются к асимптотам.

в) При наличии в уравнении квадрата только одной переменной делаем вывод, что это парабола.

При значениях y > 0 уравнение не имеет смысла, ординаты точек параболы удовлетворяют неравенству y ≤ 0.

Так как уравнение содержит х только в первой степени, то определяемая им парабола симметрична относительно оси Оу.

Придадим значение переменной у:

при у = – 3  х₁ = 2, х₂ = – 2.

Точки А₁ (2; – 3), А₂ (– 2; – 3) расположены на кривой симметрично относительно оси Оу.

Через вершину параболы, которая лежит в начале координат, и точки А₁, А₂ проводим кривую, учитывая при этом, что в точке (0; 0) направление перпендикулярно оси Оу.

П р и м е р 8. Найти координаты центра и радиуса окружности:

х² + у² – 6 х + 10 у – 15 = 0.

Решение. В данном уравнении выделим полные квадраты, прибавляя и вычитая соответствующие числа. Получаем:

(х² – 6 х + 9) – 9 + (у² + 10 у + 25) – 25 – 15 = 0

(х – 3)² + (у + 5)² = 49.

Сравнивая это уравнение с уравнением

(х – х₀)² + (у + у₀)² = R²,

находим, что х₀ = 3, у₀ = – 5, R = 7.

П р и м е р 9.Определить вид кривой и ее расположение на плоскости по уравнению: 9 х² + 4 у² – 54 х – 32 у + 109 = 0.

Решение. Выделяя полные квадраты, преобразуем левую часть уравнения:

9 (х² – 6 х + 9) – 81 + 4 (у²– 8 у + 16) – 64 + 109 = 0

9 (х – 3)² + 4 (у– 4)² = 36 или .

Вводя новые координаты по формулам: Х = х – 3, Y = y – 4, запишем уравнение в виде:

.

Это уравнение эллипса с полуосями а = 2, b = 3 и центром в точке О₁ (3; 4)