Тема 8: Преобразования многомерных случайных величин.

Определения и глоссарий

Якобиан преобразования замены переменных

Задания для предварительной самостоятельной подготовки

1. Записать и проинтерпретировать общее правило вычисления плотностей распределения выходных переменных детерминированных функциональных систем по заданным плотностям входных.

Задачи

1. Найти плотность распределения вероятностей разности двух некоррелированных гауссовых случайных величин и , имеющих заданные математические ожидания и дисперсии.

2. Найти плотность распределения случайного сигнала , где ω - постоянная угловая частота, t - время, α и β - взаимно независимые гауссовские случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями .

3. Известна совместная плотность вероятности р₂(х₁,х₂) случайных величин Х₁ и Х₂. Найти р₂(у₁,у₂) случайных величин , если Y₁=aX₁+bX₂, Y₂=cX₁+dX₂, a,b,c,d – постоянные. Выразить математические ожидания, дисперсии и корреляционный момент Y₁ и Y₂ через аналогичные характеристики Х₁ и Х₂.

4. Известна совместная плотность вероятности р₂(х₁,х₂) случайных величин Х₁ и Х₂. Найти р₂(у₁,у₂) случайных величин .

5. Вычислить функцию распределения и плотность вероятности случайной величины Y=min(X₁,X₂), если известна совместная плотность вероятности р₂(х₁,х₂) случайных величин Х₁ и Х₂.

6. Найти закон распределения вероятностей суммы и разности двух пуассоновских случайных величин с параметрами a и b.

7. Найти плотность распределения вероятностей суммы и произведения двух равномерно распределенных на интервале [a,b] случайных величин.

8. Вычислить плотность распределения вероятностей суммы двух независимых случайных величин: гармонического сигнала с равномерно распределенной на интервале случайной начальной фазой, постоянной амплитудой и постоянной частотой и гауссовской помехи c нулевым математическим ожиданием и дисперсией .

9. Производится однократное измерение частоты F колебаний автогенератора, равномерно распределенной в интервале [f_min,f_max]. Найти плотность распределения результата измерения Y=F+X, если погрешность измерения Х не зависит от F распределена нормально с дисперсией D.

10. Для определения площади квадрата измеряют две его стороны и результаты перемножают. С какой среднеквадратической ошибкой нужно измерять стороны квадрата, чтобы среднеквадратичная ошибка определения площади была не более 1%?

Учебно-исследовательское задание

1. Произвести вывод распределения молекул тела по энергии (распределение Гиббса) из условия максимума информационной энтропии при заданной средней энергии системы. Получить из этого распределения распределение молекул атмосферы по высоте над уровнем моря. [3].

Литература

1. В.И.Тихонов. Статистическая радиотехника. М.: Радио и Связь, 1982.

2. В.Т.Горяинов, А.Г.Журавлев, В.И.Тихонов. Статистическая радиотехника. Примеры и задачи. М.: Сов.Радио, 1980.

3. И.В.Савельев. Курс общей физики, Т.2. М: Высшая школа, 1987.

Практическое занятие 11.