- •Белорусский национальный технический университет
- •Практикум по курсу «Каналы передачи информации»
- •Часть 1
- •Составитель и разработчик в.В.Баркалин.
- •Тема 1: Информация и ее измерение. Определения и глоссарий
- •Задания для предварительной самостоятельной подготовки
- •Учебно-исследовательское задание
- •Литература
- •Тема 2: Основные понятия теории вероятностей. Вычисление вероятностей составных событий Определения и глоссарий
- •Задания для предварительной самостоятельной подготовки
- •Литература
- •Тема 3: условные вероятности Определения и глоссарий
- •Задания для предварительной самостоятельной подготовки
- •Учебно-исследовательское задание
- •Литература
- •Тема 4: Законы распределения и числовые характеристики одномерных случайных величин Определения и глоссарий
- •Задания для предварительной самостоятельной подготовки
- •Учебно-исследовательское задание
- •Литература
- •Тема 5: Многомерные случайные величины и условные функции распределения. Определения и глоссарий
- •Задания для предварительной самостоятельной подготовки
- •Учебно-исследовательское задание
- •Литература
- •Тема 5: Многомерные случайные величины и условные функции распределения (продолжение). Задачи
- •Тема 6: -функция Дирака.
- •Тема 7: Преобразования одномерных случайных величин.
- •Тема 8: Преобразования многомерных случайных величин.
- •Учебно-исследовательское задание
- •Литература
- •Тема 9: энтропия и количество информации в дискретных системах Определения и глоссарий
- •Задания для предварительной самостоятельной подготовки
- •Учебно-исследовательское задание
- •Литература
- •Тема 10: Дискретные каналы передачи информации Определения и глоссарий
- •Задания для предварительной самостоятельной подготовки
- •Тема 11: Законы распределения случайных процессов
- •Тема 12: корреляционные функции случайных процессов
- •Тема 13: спектральные плотности случайных процессов
- •Тема 14: Непрерывные системы передачи информации
- •Учебно-исследовательское задание
- •Литература
- •Содержание
Тема 11: Законы распределения случайных процессов
Определения и глоссарий
Случайная величина, случайная функция времени, случайный процесс, 5 основных типов случайных процессов: дискретная последовательность, случайная последовательность, дискретный процесс, непрерывнозначный процесс, случайный поток, стационарные и нестационарные процессы, эргодические процессы
Задачи
-
Найти одномерную плотность гармонического случайного процесса с постоянными амплитудой и частотой, начальная фаза которого равномерно распределена в интервале .
-
Найти одномерную и двумерную плотности распределения случайного процесса , где ω - постоянная угловая частота, α и β - взаимно независимые гауссовские случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями .
-
Найти одномерную плотность распределения вероятностей процесса , где α и β - взаимно независимые случайные величины с плотностями распределения и .
-
Найти одномерную характеристическую функцию гауссовского процесса , имеющего плотность распределения вероятностей
-
Пользуясь понятием условной плотности распределения и одномерной плотностью распределения гармонического процесса с постоянной амплитудой и угловой частотой , найти двумерную плотность распределения этого процесса.
-
Два гауссовских некоррелированных случайных процесса имеют заданные постоянные математические ожидания и дисперсии. Записать совместную плотность распределения вероятностей этих процессов.
-
Имеется два случайных процесса и , где α - постоянный коэффициент. Считая гауссовским с нулевым математическим ожиданием и дисперсией , и используя определение условной вероятности, записать совместную плотность распределения и .
-
Определить, при каких условиях процесс , у которого амплитуда и частота - детерминированные величины, стационарен и нестационарен в широком смысле.
-
Случайные величины A и Φ независимы, , , Φ равномерно распределена в интервале . Доказать, что случайный процесс стационарен в широком смысле (вычислить математическое ожидание и дисперсию процесса ).
-
Показать, что случайный процесс стационарен в широком смысле только в том случае, когда случайные величины X и Y взаимно не коррелированы и имеют нулевые математические ожидания и равные дисперсии.
Учебно-исследовательское задание
-
Флуктуации энергии и числа частиц в термодинамических равновесных системах.
-
Зависимость термодинамических флуктуаций от времени.
Литература
-
В.И.Тихонов. Статистическая радиотехника. М.: Радио и Связь, 1982.
-
В.Т.Горяинов, А.Г.Журавлев, В.И.Тихонов. Статистическая радиотехника. Примеры и задачи. М.: Сов.Радио, 1980.
Практическое занятие 14.
Тема 12: корреляционные функции случайных процессов
Определения и глоссарий
Корреляционные и ковариационные функции случайных процессов, взаимные корреляционные функции, радиус корреляции, гауссов случайный процесс. Пуассоновский случайный процесс.
Задачи
-
Определить, обладает ли функция свойствами корреляционной функции: и .
-
Случайные процессы и заданы своими математическими ожиданиями , корреляционными и взаимными корреляционными функциями . Определить математические ожидания и корреляционные функции суммы и разности этих процессов.
-
Определить корреляционную функцию случайного процесса , где - случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией .
-
Найти корреляционную функцию сигнала , где - стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией , A и ω - постоянные величины, а φ - случайная начальная фаза, равномерно распределенная на интервале [-π; π] и не зависящая от .
-
Определить корреляционную функцию комплексного случайного процесса , где - постоянная угловая частота, взаимно не коррелированные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями .
-
Определить математическое ожидание и корреляционную функцию периодически нестационарного случайного процесса , где - периодическая детерминированная функция, - стационарный случайный процесс с математическим ожиданием и корреляционной функцией .
-
Заданы два взаимно некоррелированных случайных процесса и с нулевыми математическими ожиданиями и корреляционными функциями. Доказать, что корреляционная функция произведения этих процессов равна произведению корреляционных функций сомножителей:.
-
Доказать, используя выражение для спектральной плотности, что не существует стационарного случайного процесса, корреляционная функция которого была бы постоянна на временном интервале и равна нулю везде вне его.
-
Случайный процесс представляет собой последовательность случайно чередующихся отрезков элементарных сигналов и , т.е. имеет вид . Здесь и - стационарные и стационарно связанные случайные процессы, не зависящие от a(t), а a(t) - случайный двоичный сигнал, который в любой момент времени t может принимать одно из двух значений или с одинаковыми вероятностями , причем моменты скачков (перемен знака) распределены по закону Пуассона, т.е. вероятность обнаружения n скачков на интервале времени длительностью определяется формулой Вычислить корреляционную функцию процесса при условии, что математические ожидания процессов и равны нулю, а их корреляционные и взаимные корреляционные функции известны: , и .
-
Найти корреляционную функцию колебания , где - постоянные амплитуда и частота, - случайна начальная фаза, равномерно распределенная на интервале , - стационарные гауссовские случайные функции, медленно меняющиеся по сравнению с колебанием частоты.
-
Определить корреляционную функцию случайного процесса , где - стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией .
-
Вычислить ковариационную функцию двоичного сигнала , сформированного на основе простого пуассоновского потока упорядоченных временных точек следующим образом: , если число точек в интервале - четное, , если число точек в интервале - нечетное.
-
Исходя из того, что приращения простого пуассоновского потока на неперекрывающихся временных интервалах независимы и распределены по закону Пуассона с математическим ожиданием , найти математическое ожидание произведения приращений на двух интервалах, когда эти интервалы не перекрываются и перекрываются.
-
Получить выражение для ковариационной функции целочисленного пуассоновского процесса .
-
Вычислить математическое ожидание и ковариационную функцию приращения простого пуассоновского процесса вида , где - заданная величина. Изобразить график ковариационной функции и рассмотреть предел .
-
Для простого пуассоновского процесса вычислить одномерную характеристическую функцию.
-
Для простого пуассоновского процесса при и целых положительных вычислить вероятность .
-
В законе Пуассона длительность временного интервала является случайной величиной с плотностью . Найти вероятность появления ровно событий.
Учебно-исследовательское задание
-
Флуктуации в электрических цепях. Теорема Найквиста и ее обобщения.
Литература
-
В.И.Тихонов. Статистическая радиотехника. М.: Радио и Связь, 1982.
-
В.Т.Горяинов, А.Г.Журавлев, В.И.Тихонов. Статистическая радиотехника. Примеры и задачи. М.: Сов.Радио, 1980.
Практическое занятие 15.