§3. Напружено-деформований стан в точці пружного тіла.

3.1. Просторовий напружений стан. Напруженим станом тіла в точці називають сукупність напружень, що діють по все можливих площадках, проведених через цю точку. Як відзначалося в §1, величина повного напруження, що діє в довільній площадці, залежить від її орієнтації.

Для визначення напруженого стану в точці твердого тіла, розглянемо елементарний паралелепіпед з ребрами dx, dy, dz, вирізаний в околі досліджуваної точки. Враховуючи малість його розмірів, приймемо допущення про рівномірний розподіл напружень по гранях паралелепіпеда. Ці напруження будемо вважати прикладеними в точці. Повні напруження, що діють на кожній грані, розкладемо на нормальну складову σ, направлену перпендикулярно відповідній грані, і дві дотичні складові τ, які направлені вздовж двох інших осей (мал. 2.26). На невидимих гранях паралелепіпеда виникають такі ж самі напруження протилежного знаку. Оскільки даний елемент перебуває у рівновазі, то, записавши моментну умову рівноваги відносно осі х, дістанемо

або .

Аналогічні співвідношення матимемо з момент них умов рівноваги відносно осей y і z

, .

Таким чином, ми довели закон парності дотичних напружень: у двох взаємно перпендикулярних площадках складові дотичних напружень, перпендикулярні до спільного ребра площадок, однакові за величиною і протилежні за знаком.

Закон парності дотичних напружень показує, що напружений стан в будь-якій точці тіла визначається шістьма складовими σ_х, σ_y, σ_z, τ_xy, τ_yz, τ_xz, які діють на трьох взаємно перпендикулярних площадках.

В курсі теорії пружності доводиться, що серед всеможливих площадок, проведених через дану точку напруженого тіла, завжди існують три взаємно перпендикулярні площадки, по яких дотичні напруження відсутні. Такі площадки називаються головними. Нормальні напруження, що діють по цих площадках, називаються головними напруженнями. Напрямки дії головних напружень називаються головними напрямками.

Отже, у загальному випадку навантаження в кожній точці тіла діють три головні напруження σ₁, σ₂, σ₃, два з яких мають екстремальні значення: одне з них є найбільшим з усіх нормальних напружень, що діють в площадках, проведених через точку, а друге — найменшим.

Якщо в довільній точці напруженого тіла усі три головні напруження відмінні від нуля (вважаємо, що σ₁>σ₂>σ₃), то такий напружений стан називається об’ємним або просторовим.

На основі вищесказаного можна зробити висновок: будь-який напружений стан в точці може бути поданий як результат розтягу або стиску в трьох головних напрямках (мал. 2.27).

Якщо одне з головних напружень дорівнює нулю, то такий напружений стан називається плоским, а у випадку рівності нулю двох головних напружень — лінійним (який нічим не відрізняється від звичайного центрального розтягу стиску).

3.2. Плоский напружений стан. Нехай по чотирьох гранях елементарного паралелепіпеда діють головні напруження σ₁ і σ₂. Грань, вільну від напружень, сумістимо з площиною мал. 2.28а.

Розглянемо довільну площадку ab і визначимо в ній нормальні σ_α і дотичні τ_α напруження. Положення цієї площадки визначається кутом α, який утворює нормаль до площадки з головним напрямком, що відповідає напруженню σ₂.

Розглянемо рівновагу тригранної призми з основою abc, відсіченої від паралелепіпеда площиною ab.

Координатні осі u, V направимо по напрямках напружень σ_α і τ_α відповідно. Позначимо площу грані ab через dS. Тоді рівняння рівноваги системи збіжних сил матимуть вигляд

;

.

Розділивши останні рівності на dS, знаходимо після певних перетворень

;

(2.11)

Найбільші дотичні напруження, як видно з (2.11), діють в площадках, нахилених під кутом до головних напрямків і дорівнюють

. (2.12)

Обчислимо напруження, що діють в площадці cd, перпендикулярній до ab. Для цього підставимо в (2.11) замість кута α кут . В результаті нескладних перетворень знаходимо

;

. (2.13)

Порівнявши вирази (2.11) і (2.13), дістанемо

;

Перша рівність показує, що сума нормальних по двох взаємно перпендикулярних площадках є величина стала і дорівнює сумі головних напружень, друга рівність являє собою закон парності дотичних напружень.

Якщо в (2.11), (2.12) прийняти , , то отримаємо відповідні співвідношення для визначення напружень в косих перерізах стержня при його розтягу або стиску.

3.3. Узагальнений закон Гука. Розглянемо деформацію елементарного паралелепіпеда, який перебуває під дією головних напружень σ₁, σ₂ і σ₃ (мал. 2.27).

На основі принципу незалежності дії сил повна відносна деформація в напрямку дії напруження σ₁ дорівнює алгебраїчній сумі деформацій від кожного напруження

.

Тут враховано, що якщо напруження σ₂ і σ₃ розтягуючі, то в напрямку дії напруження σ₁ вони приводять до стиску (ν — коефіцієнт Пуассона матеріалу).

Аналогічно визначаються лінійні деформації в інших головних напрямках. Остаточний зв’язок між головними деформаціями і головними напруженнями має вигляд

; ;

. (2.14)

Співвідношення (2.14) називаються узагальненим законом Гука для просторового напруженого стану. У випадку плоского напруженого стану (σ₃=0) ці співвідношення запишуться так

; . (2.15)

Визначимо питому потенціальну енергію деформації, що накопичується в одиничному об’ємі тіла за рахунок пружних деформацій. Розглянемо кубик з одиничним ребром, який перебуває під дією головних напружень σ₁, σ₂, σ₃. Потенціальна енергія, яка накопичується в такому кубику, визначається сумою робіт всіх сил, що діють по його гранях.

На підставі формули (2.7) маємо

.

Підставляючи замість ε₁, ε₂, ε₃ їх значення із (2.14), дістанемо після деяких перетворень

(2.16)

Питому потенціальну енергію можна подати як суму двох складових:

,

де П_v — енергія, зумовлена зміною об’єму кубика

, (2.17)

П_ф — енергія зміни форми

(2.18)

У випадку лінійного напруженого стану

; ; (2.19)