§9. Стійкість стиснутих стержнів

Розглянемо тонкий довгий стержень (розміри поперечного перерізу малі в порівнянні з довжиною), який стикується вздовж осі силою Р (мал.2.64). Якщо сила Р невелика, то стержень буде зберігати пря­молінійну форму і перебувати в умовах центрального стиску або стійкої рівноваги. При збільшенні стискуючої сили прямолінійна форма рівнова­ги може виявитися нестійкою і стержень буде випучуватися (згинатися). Це явище має назву поздовжнього згину або біфуркації.

Значення стискуючої сили, при якій відбувається перехід від стійкої прямолінійної форми рівноваги до криволінійної, називається критичною силою.

Якщо стискуюча сила менша критичної, то стержень працює на стиск; при силі, більшій за критичну, стержень перебуває в умовах стиску і згину. Навіть при великому перевищенні стискуючої сили критичного значення прогини стержня зростають надзвичайно швидко і стержень або руйнується, або повністю втрачає свою жорсткість. Тому з точки зору практичних розрахунків критична сила повинна розглядатися як руйнівне навантаження.

Допустима стискуюча сила повинна бути в кілька разів менша, ніж критична. Цю умову стійкості прямолінійної форми рівноваги можна записати так

, (2.91)

де — допустиме значення стискуючої сили; — критична сила; — коефіцієнт запасу стійкості.

Якщо поділити критичну силу на площу поперечного перерізу стержня то дістанемо критичне напруження

. (2.92)

Критичне напруження при поздовжньому згині відіграє таке ж значен­ня, як або при звичайному розтягу або стиску. З урахуванням коефіцієнта запасу міцності воно не повинне перевищувати границю пропорціональності.

9.1. Формула Ейлера. Розглянемо стержень, шарнірно закріплений на кінцях і стиснутий силою Р (мал.2.65а). Такий випадок закріплення будемо називати основним. Якщо стискуюча сила досягне значення , то стержень прийме криволінійну форму (мал.2.65б). При цьому можна вважати, що зміщення верхнього кінця стержня і його прогини малі в порівнянні з довжиною . В цьому випадку диференціальне рівняння зігнутої осі стержня, згідно з (2.66), матиме вид

. (2.93)

Якщо переміщення стержня не обмежені, то він буде згинатися в площині найменшої жорсткості, яка у випадку сталого значення буде дорівнювати .

Враховуючи, що , із (2.93) знаходимо однорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами .

, (2.94)

де

. (2.95)

Його загальний розв'язок має вигляд

. (2.96)

Сталі інтегрування і визначимо із граничних умов закріплення стержня, які в даному випадку записуються у вигляді

І) ; ;

ІІ) ; .

З першої умови маємо ; тоді .

Друга гранична умова приводить до рівності .

Оскільки , бо в протилежному випадку стержень матиме прямолі­нійну форму рівноваги (), то . Звідси знаходимо

або ,

де п — ціле невід’ємне число.

Враховуючи позначення (2.95), знаходимо шукану критичну силу

. (2.97)

Випадок не відповідає фізичним умовам задачі. Тоді мінімальна критична сила буде при

(2.98)

Формула (2.98) вперше була здобута Л. Ейлером наприкінці XVII століття.

Рівняння зігнутої осі, що визначається критичною силою (2.98), має вигляд

і відповідає одній півхвилі синусоїди. Постійна , яка дорівнює прогину посередині стержня, залишається невідомою. Для її визначення нема додаткових умов.

Якщо виходити з точного диференціального рівняння зігнутої (2.65), то сталу можна визначити. При цьому критична сила буде такою ж, яка знайдена Ейдером із спрощеного рівняння. На цей цікавий факт звернув увагу відомий російський вчений Ф.С. Ясинський.

При інших способах закріплення кінців стержня формулу для визна­чення критичної сили можна знайти шляхом співставлення форми зігнутої осі даного стержня з формою, яка є у стержня з шарнірно закріпленими кінцями, Якщо на зігнутому стержні вибрати ділянку, що має форму однієї півхвилі синусоїди, то ця ділянка працюватиме в таких же умовах, як і стержень основної форми відповідної довжини. Позначивши довжину цієї ділянки через за формулою (2.98) визначаємо величину критичної сили.

. (2.99)

На (мал.2.66) зображено найбільш характерні випадки закріплення кінців стержня, відмінні від основної форми.

Таким чином, при довільному способі закріплення кінців стержня формулу для визначення критичної сили можна подати у вигляді (2.99). Виразивши зведену довжину , запишемо формулу Ейлера в загальному випадку

, (2.100)

де — коефіцієнт зведення довжини стержня. Його значення для конкретних випадків закріплення стержня приведено на мал.2.66.

Д ля основної форми стержня .

Формула (2.100) показує, що величина критичної сили залежить від матеріалу стержня (), його довжини (), геометрії поперечного перерізу () і способу закріплення кінців стержня ().

Критичні напруження визначаються, виходячи з (2.92) I формули Ейлера

,

де мінімальний радіус інерції перерізу.

Формула для критичного напруження може бути подана у вигляді

.

Величина називається гнучкістю стержня. Чим більша гнучкість стержня, тим менше критичне напруження, тим менша стискую­ча сила необхідна, щоб викликати його поздовжній згин.

Оскільки величина не повинна перевищувати , то

Гранична гнучкість, нижче якої формулу Ейлера застосувати не можна

. (2.101)

Для стержнів з маловуглецевої сталі , для дерев'яних — , для чавунних стержнів .

Таким чином, ми встановили, що межею використання формули Ейлера є межа закону Гука ().

На практиці доводиться мати справу Із стиснутими стержнями, гнуч­кість яких нижча граничної. В таких випадках для визначення критичного напруження використовують формулу, запропоновану Ф.С. Ясинським.

, (2.102)

де і — величини, що характеризують властивості матеріалу стержня. Значення цих коефіцієнтів приводяться в технічних довідниках.

Приклад 7. Визначити допустиму величину стискуючої сили для чавун­ної колони довжиною з одним защемленим кінцем, а другим — вільним. Переріз колони — круг діаметром ; ;

Розв'язування. Визначаємо осьовий момент інерції поперечного пе­рерізу і його площу

; .

Радіус інерції перерізу дорівнює .

Знаходимо зведену довжину колони при

.

Гнучкість колони

.

Розрахунок даної колони можна вести за формулою Ейлера

.