§5. Деформація зсуву

5.1. Чистий зсув. Розглянемо окремий випадок плоского напруженого стану, коли на головних площадках діють однакові за величиною і протилежні за знаком головні напруження (мал.2.29).

П ри такому напруженому стані на площадках, нахилених до головних площадок під кутом , як видно з формул (2.11), нормальні напруження дорівнюють

,

а дотичні дорівнюють головним

.

Плоский напружений стан, при якому на взаємно перпендикулярних площадках діють тільки дотичні напруження, називається чистим зсувом, а площадки, на яких відсутні нормальні напруження — площадками чистого зсуву.

При чистому зсуві прямокутний елемент, вирізаний в околі деякої точки, перебуває в умовах зсуву, видовження його сторін дорівнюють нулю.

Розглянемо прямокутний кубик, який перебуває в умовах чистого зсуву. На мал. 2.30 зображена тільки його фасадна грань abcd.

О скільки деформації кубика малі, то абсолютне видовження Δl діагоналі ас можна прийняти рівними С₁С₂, а трикутник СС₁С₂ — рівнобедреним і прямокутним .

Враховуючи, що (l — довжина діагоналі ас), , дістанемо

або . (2.25)

Застосувавши до волокна ас узагальнений закон Гука (2.15) при , , можемо записати .

Враховуючи, що при чистому зсуві , на підставі співвідношення (2.25) отримаємо

. (2.26)

Ввівши позначення

, (а)

Із (2.26) знаходимо зв’язок між напруженням τ і деформацією γ

, (2.27)

який називається законом Гука при зсуві. Величина G залежить від механічних характеристик матеріалу і називається модулем пружності другого роду або модулем зсуву. Вона для різних матеріалів визначається

експериментально і приводиться в довідниках.

Для встановлення фізичного змісту модуля зсуву G покладемо в (2.27) .

Тоді .

Остання рівність показує, що модуль зсуву являє собою дотичне напруження, яке потрібно створити на гранях квадрата, щоб він деформувався у ромб з гострим кутом величиною . На практиці таких напружень реалізувати не можна.

Співвідношення (а) являє собою залежність між трьома пружними характеристиками матеріалу: модулем Юнга Е, модулем зсуву G і коефіцієнтом Пуассона ν.

Якщо позначити через S площу грані відрізаного кубика, а через Q — сумарну силу, що діє по його гранях, то з урахуванням рівностей і маємо пружне лінійне переміщення при зсуві

. (2.28)

5.2. Потенціальна енергія деформації при зсуві. Розглянемо стержень у формі прямокутного паралелепіпеда, зображеного на мал. 2.31. Одну з його граней закріпимо нерухомо, а до інших граней прикладемо статичні дотичні сили Q. Верхня грань зсунеться відносно закріпленої на величину ΔS.

В межах закону Гука робота, виконана силою Q на переміщенні ΔS, дорівнює потенціальній енергії деформації і обчислюється за формулою .

Зусилля, що діють по бокових гранях, перпендикулярні до переміщення ΔS, тому роботи не виконують. Підставляючи замість ΔS його

значення з (2.28), дістанемо

,

де S — площа зсуву.

Питиму потенціальну енергію знайдемо за формулою

,

де — дотичні напруження зсуву.

5.3. Практичний розрахунок заклепкових з’єднань на зріз і зминання. Прикладом елемента металічних конструкцій, який працює на деформацію, близько до зсуву, може служити заклепка.

Розглянемо роботу заклепки, що з’єднує два металевих листи (мал.2.32а). Нехай на листи діють сили Р, що прикладені перпендикулярно дот заклепки і намагаються зсунути листи один відносно другого.

П ри цьому на заклепку передаються навантаження, які при збільшенні сили Р зможуть перерізати заклепку по площині mn.

Для визначення дотичних напружень, що діють в площині mn, умовно відкинемо верхню частину заклепки, а її дію на нижню замінимо внутрішніми силами. Нехтуючи згином заклепки і прийнявши, що дотичні напруження в її перерізі розподілені рівномірно, знаходимо з умов рівноваги нижньої частини

,

де S_ЗР — площа поперечного перерізу заклепки.

Якщо позначити через допустиме дотичне напруження матеріалу, то умова міцності заклепки на зріз матиме вигляд

. (2.30)

Величину допустимого напруження на зріз звичайно приймають

.

Якщо заклепкове з’єднання містить п заклепок і k листів, то

.

Тоді розрахункова формула (2.30) запишеться так

. (2.31)

ця формула при проектному розрахунку дозволяє визначати одну з величин d, n, k або Р, якщо всі інші задані (Р — сумарне навантаження, що діє з одного боку заклепкового з’єднання).

Оскільки під час роботи заклепкового з’єднання відбувається стиск двох тіл з циліндричними поверхнями, то в зоні контакту виникають нормальні напруження зминання σ_ЗМ. При великих значеннях σ_ЗМ може відбуватися зминання заклепки або листа, внаслідок чого отвір або переріз заклепки набере овальну форму. Розрахунок заклепкового з’єднання на зминання проводять приблизно: площу зминання умовно приймають рівною площі діаметрального перерізу , де d — діаметр отвору або заклепки, δ_min — товщина тоншого із листів. Це зумовлено нерівномірним законом розподілу контактних напружень в зоні зминання.

Умова міцності на зминання записується у вигляді

або

, (2.31)

де — допустиме напруження матеріалу на зминання. Звичайно приймають .

Приклад 3. Визначити кількість заклепок діаметром d=5мм, необхідних для з’єднання трьох листів товщиною δ=10мм, якщо Р=120кН, , (мал. 2.33).

Розв’язування. В даному випадку k=3. З умови міцності на зріз (2.31) знаходимо

_.

На підставі умови задачі внутрішній лист має меншу площу зминання, ніж два зовнішніх, тому δ_min=10мм.

На підставі формули (2.31)

.

Із двох значень п, визначених з умов міцності на зріз і зминання, вибираємо більше п=10.

Таким же методом проводиться розрахунок на зріз і зминання болтових з’єднань.