§7. Деформація згину.

7.1. Загальні поняття про поперечний згин балок. Якщо на призматичний стержень діє система зрівноважених сил, перпендикулярних до його осі і розміщених в одній площині, то виникає деформація поперечного згину, при якій вісь стержня буде викривлятися.

Площина, в якій діють всі сили, в тому числі і опорні реакції, називається силовою площиною.

Площина, що проходить через вісь стержня і одну із головних осей поперечного перерізу стержня, називається головною площиною стержня.

Якщо силова площина збігається з однією із двох головних площин стержня, то згин, який виникає при цьому, називається прямим або плоским згином. У всіх інших випадках згин називається просторовим або ко­сим. Стержень, що зазнає деформації прямого поперечного згину, будемо називати балкою.

Для реалізації згину балка має бути певнім чином закріплена. Це здійснюється за допомогою опор, які можна поділити на такі три групи: шарнірно-рухомі, шарнірно-нерухомі, жорстко-защемлені опори.

Конструктивні схеми і умовні позначення названих опор зображені на мал.2.4І.

Шарнірно-рухома опора (2.41а) дає можливість балці повертатися відносно осі і катка і переміщатися вздовж осі балки. В опорі виникає одна реакція, направлена перпендикулярно осі балки.

В шарнірно-нерухомій опорі подушка закріп­лена, що виключає горизонтальне (вздовж осі балки) переміщення. Шарнірно-нерухома опора накладає на бал­ку дві в’язі, тому реакція може бути зображена двома складовими , .

Жорстко защемлена опора (мал.2.41в) виключає можливість повороту балки і переміщення в площині її згину. При цьому виникають дві реактивні сили і та реактивний момент .

Для визначення величин реакцій, що виникають в опорах балок, використовують рівняння рівноваги плоскої системи сил. Якщо всі реакції опор можуть бути визначені з рівнянь статики твердого тіла, то такі балки називаються статично визначеними. Балки, для яких число опорних реакцій перевищує число умов рівноваги, називаються статично невизначеними.

В даному розділі ми будемо розглядати лише статично визначені балки двох типів, зображених на мал. 2.42 ( — двохопорна балка,  —консольна балка). Порядок визначення опорних реакцій такий же, як і при розв’язуванні задач статики».

Зауважимо, що при прямому поперечному згині горизонтальні складові опорних реакцій дорівнюють нулю, якщо зовнішні сили діють перпендикулярно осі балки.

Розглянемо двохопорну балку, зображену на мал. 2.43. Вісь направимо вздовж осі балки, а вісь — вертикально вниз. Оскільки навантаження поперечне, то реакції і будуть вертикальними. Запишемо моментні умови рівноваги для системи паралельних сил відносно точок і

;

.

Розв’язуємо систему рівнянь

, .

Додавши останні рівності

,

ми дістали рівняння проекцій всіх сил на вертикальну вісь. Це означає, що опорні реакції визначені правильно.

7.2. Поперечна сила і згинаючий момент. Для визначення напружень, які виникають в перерізах балки, необхідно знати внутрішні силові фак­тори в цих перерізах. Для їх визначення, як і в інших випадках деформації стержня, користуємось методом перерізів.

Розглянемо балку, навантажену зрівноважено системою вертикальних сил і пар, що діють, в одній із головних площин балки (в цю систему включено і опорні реакції) (мал.2.44).

Пари сил, що діють на балку, можуть бути представлені двома силами, а розподілене навантаження — системою великої кількості однакових паралельних сил.

Припустимо, що поперечним перерізом тп балка розділена на дві частини. Оскільки система сил, що діє на одну з частин балки, може бути зведена до однієї вертикальної сили і пари сил, то внутрішні сили, що діють в перерізі тп, повинні зводитися до сили Q і пари сил з моментом М.

Сила Q називається поперечною силою, а момент М — згинаю­чим моментом, що діють в розглядуваному перерізі.

Для визначення поперечної сили Q складемо силову умову рівноваги для системи паралельних сил, які діють на ліву частину балки

,

звідки . (2.49)

Для визначення згинаючого момента М складемо моментну умову рівноваги відносно центра ваги перерізу тп всіх сил і пар, що діють на ліву частину балки

,

звідки (2.50)

Рівності (2.49), (2.50) визначають правила, для знаходження поперечної сили і згинаючого момента.

Поперечна сила в довільному перерізі балки дорівнює алгебраїчній сумі всіх зовнішніх сил (включаючи і опорні реакції), що діють на балку по один бік від розглядуваного перерізу.

Згинаючий момент у довільному перерізі балки дорівнює алгебраїч­ній сумі моментів всіх зовнішніх сил і пар, що діють на балку по один бік від розглядуваного перерізу відносно центра його ваги. Для того, щоб величини Q і М, обчислені з розгляду лівої і правої частини балки, мали однакові значення, необхідно дотримуватися певного правила знаків.

Поперечну силу Q будемо вважати позитивною, якщо зовнішня сила Р, що її викликає, обертає розглядувану частину балки відносно центра ваги перерізу за годинниковою стрілкою (мал.2.45а). Згинаючий момент, викликаний силою Р, вважаємо додатнім, якщо ця сила згинає розглядувану частину балки опуклістю вниз (мал. 2.45б).

Поперечна сила І згинаючий момент, будучи функціями зовнішнього навантаження, змінюються по довжині балки. Для знаходження їх максимальних значень зручно будувати графіки Q і М по довжині балки. Такі графіки називаються епюрами поперечних сил і згинаючих моментів.

Розглянемо приклади побудови епюр Q і М для різних типів навантаження на балку.