§ 2. Деформація розтягу і стиску

2.1. Напруження в поперечних перерізах. Якщо до торців прямолінійного стержня прикладено дві зрівноважені сили, що діють вздовж його осі, то в стержні виникає деформація розтягу або стиску (мал. 2.17а). В більшості випадків практики власна вага стержня мала в порівнянні з зовнішніми силами, тому нею можна знехтувати при визначенні напружень і деформацій.

Приймемо додаткові робочі гіпотези, характерні для розтягу або стиску, які підтверджуються даними експериментів і результатами точного розв’язку даної задачі в теорії пружності.

1. Вважаємо, що стержень складається із однакових поздовжніх волокон, які можуть лише розтягуватися або стискуватися, не чинячи бокового тиску одне на одне.

2. Зовнішні сили діють вздовж осі стержня.

3. Стержень має призматичну або циліндричну форму.

На підставі приведених припущень і гіпотези плоских перерізів (перерізи після деформації залишаються плоскими і лише переміщаються паралельно своєму недеформованому положенню) робимо висновок, що нормальні напруження σ в поперечному перерізі розподілені рівномірно. Їх величину знайдемо, розділивши поздовжню силу N, що діє в розглядуваному перерізі, на його площу S

(2.1)

Поздовжня сила N методом перерізів завжди може бути виражена через зовнішні сили. Визначимо її в поперечних перерізах стержня, зображеного на мал. 2.17а. Розріжемо стержень довільним перерізом І-І, розглянувши рівновагу нижньої частини (мал. 2.17б), знаходимо .

Силу N будемо вважати додатною, якщо вона приводить до розтягу стержня, а у випадку стиску — від’ємною. Зміну поздовжньої сили по довжині стержня зручно подавати у вигляді діаграми, яка називається епюрою. Для стержня, зображеного на мал. 2.17а, епюра побудована на мал.2.17в.

Якщо на стержень діє система сил, то епюра N матиме стрибкоподібну форму. Розглянемо приклад побудови епюри поздовжніх сил.

П риклад 1. Стержень одним кінцем жорстко защімлений і навантажений осьовими силами Р₁, Р₂, Р₃ (мал. 2.18а). Побудувати для цього стержня епюру поздовжніх сил, якщо Р₁=Р, Р₂=3Р, Р₃=5Р.

Розв’язування. Розбиваємо стержень на три ділянки, межі яких визначаються заданими силами. Запишемо вирази N на кожній із ділянок, враховуючи те, що поздовжня сила в будь-якому перерізі стержня дорівнює алгебраїчній сумі зовнішніх сил, які діють нижче від розглядуваного перерізу: І ділянка ; ІІ ділянка ; ІІІ ділянка . Епюра N побудована на мал. 2.18б.

Відзначимо, що в даному прикладі побудову епюри N починали з нижнього (вільного) кінця. Якщо починати побудову з верхнього, то попередньо необхідно обчислити реакцію в защемленні. Якщо стержень має ступінчасту форму (на кожній з ділянок площа поперечного перерізу різна), то процес визначення поздовжніх сил такий самий, як і для стержня сталого поперечного перерізу.

Д ля побудови епюри нормальних напружень по довжині стержня необхідно, згідно формули (2.1), розділити епюру поздовжніх сил N на площу поперечного перерізу стержня S. У випадку ступінчастого стержня слід врахувати, що для кожної ділянки значення S різні.

Зауважимо, що формула (2.1) справедлива лише для стержнів сталого поперечного перерізу. У випадку порушення призматичної форми стержня, розподіл напружень в поперечному перерізі нерівномірний і формула (2.1) виражає лише середнє напруження. Якщо переріз стержня ослаблений отвором (мал. 2.19), напруження також розподілені нерівномірно, причому біля контуру отвору спостерігається значне підвищення напружень в порівнянні з напруженнями в стержні без отвору, яке називається концентрацією напружень. Те ж саме спостерігається при наявності щілин, викружок, різкого переходу одного поперечного розміру в інший.

Зростання напружень у наведених прикладах має локальний характер, тому таке напруження називається місцевим. Відношення місцевого напруження, що визначається формулою (2.1) з урахуванням ослаблення площі перерізу, називається коефіцієнтом концентрації напружень.

Концентрація напружень при статичному навантаженні небезпечна лише для стержнів з крихкого матеріалу.

2.2. Деформації при розтягу або стиску. Для більшості конструкційних матеріалів між величиною абсолютного видовження (укорочення) Δl і поздовжньою силою N, що виникає в стержні сталого перерізу, існує залежність

, (2.2)

яка встановлена експериментально і справедлива в певних межах навантаження. Постійна Е являє собою фізичну характеристику матеріалу і називається модулем пружності або модулем Юнга. Величина ES, яка входить в (2.2), називається жорсткістю стержня при розтягу або стиску і має розмірність сили.

Врахувавши, що — відносне видовження, а — нормальне напруження в поперечному перерізі, співвідношення (2.2) подамо у вигляді

. (2.3)

Рівність (2.3) являє собою закон Гука (встановлений англійським фізиком Р.Гуком в 1660 році).

Визначимо фізичний зміст модуля Юнга. Поклавши в (2.3) ε = 1 (Δl =l), дістанемо σ = Е.

Остання рівність показує, що модуль Юнга визначає, які нормальні напруження потрібно створити в перерізах стержня, щоб його довжина збільшилась (зменшилась), в два рази. На практиці таких напружень реалізувати не можна. Числові значення Е для різних матеріалів встановлюються експериментально і приводяться в довідниках.

Закон Гука справедливий не для всіх конструкційних матеріалів. Деякі з них — чавун, скло, окремі пластмаси — мають при незначних напруженнях помітні відхилення від закону Гука. Незважаючи на це, в силу гіпотези 5, умовно приймемо в опорі матеріалів, що цей закон справедливий у всіх випадках.

Розтяг і стиск викликають поперечну деформацію стержня, причому при розтягу стержня його поперечні розміри зменшуються, а при стиску — збільшуються. Позначимо через Δb = b₁ – b (де b — початковий поперечний розмір, а b₁ — кінцевий) абсолютну зміну поперечного розміру, а через — відносну поперечну деформацію стержня. Експериментами встановлено, що відношення поперечної деформації до поздовжньої для даного матеріалу при розтягу-стиску в певних межах навантаження є сталим

. (2.4)

Ця величина називається коефіцієнтом Пуассона. Діапазон його зміни від 0 до 0,5. Середнє значення коефіцієнта Пуассона для металів дорівнює 0,3. Якщо відоме υ, за формулою (2.4) можна, знаючи поздовжню деформацію, знайти поперечну. Це означає, що формули (2.1) – (2.4) дозволяють визначити форму і розміри деформованого стержня, на який діє зовнішнє осьове навантаження.

Розглянемо задачу про визначення переміщень точок, розміщених на осі стержня. Якщо на стержень діє одна зовнішня сила, то видовження навантаженого участка визначається формулою (2.2). У випадку дії на стержень системи сил її пряме застосування неможливе через зміну величини N по довжині стержня. Для визначення повного видовження стержня потрібно знайти за формулою (2.2) видовження кожної його ділянки, а результати алгебраїчно додати.

Для стержня, зображеного на схемі 2.18а, розрахункова формула має вигляд Δl =Δl₁ + Δl₂ + Δl₃, причому Δl₁, Δl2, Δl₃ — видовження окремих участків.

Врахувавши значення N з прикладу 1, знаходимо за формулою (2.2)

або

.

В останньому співвідношенні перший доданок правої частини є видовження стержня від сили Р₁, другий доданок — видовження від сили Р₂, третій доданок — видовження від сили Р₃.

Отже, ми дістали результат, який збігається з принципом незалежності дії сил: повна деформація стержня дорівнює алгебраїчній сумі деформацій від кожної сили окремо.

2.3. Потенціальна енергія деформації. Зовнішні сили, що розтягують або стискують стержень, виконують певну роботу на переміщення їх точок прикладання. В результаті у деформованому стержні накопичується потенціальна енергія деформації, яка після зняття зовнішніх сил повертає стержень в початкове положення.

В межах закону Гука потенціальна енергія деформації П дорівнює роботі зовнішніх сил А.

При статичному навантаженні сили зростають плавно від нуля до свого кінцевого значення Р, тому їх робота, а отже і потенціальна енергія, обчислюється за формулою

, (2.5)

де множник ½ враховує ефективне (середнє) значення сили Р.

Підставляючи в (2.5) замість Р поздовжню силу N, а замість Δl його значення із (2.2), отримаємо

. (2.6)

Питомою потенціальною енергією називається енергія, віднесена до одиниці об’єму

. (2.7)

2.4. Експериментальне визначення розтягу-стиску. Для визначення механічних характеристик конструкційних матеріалів, яке дозволяють оцінити їх властивості, проводять лабораторні випробування на зразках, виготовлених певним чином із даного матеріалу. У більшості випадків ці зразки мають циліндричну або призматичну (у вигляді полоси) форму.

Спеціальні пристрої, що здійснюють розтяг (розривні машини) або стиск (преси), дозволяють випробувати зразок аж до його руйнування (розриву чи роздавлювання). В процесі навантаження зразка встановлюється залежність між величиною прикладеного навантаження Р і його абсолютним видовженням (укороченням) Δl, що відповідає даному навантаженню. Цей зв’язок реєструється з допомогою вимірювальних приладів або спеціального діаграмного пристрою, який є на більшості випробувальних машин. Пристрій в автоматичному режим викреслює діаграму в прямокутних координатах Р, Δl. Така діаграма називається діаграмою розтягу або стиску. Вона для кожного матеріалу є характеристикою і відображає його механічні властивості.

На мал. 2.20 зображена діаграма розтягу для мало вуглецевої сталі типу Ст.3, що має яскраво виражені пластичні властивості. Оскільки величина Δl залежить від довжини стержня і площі поперечного перерізу, то, поділивши координату деформації на l, а силову координату на S, дістанемо діаграму розтягу, не зв’язану з геометрією зразка (мал. 2.21). Ця діаграма має п’ять характерних точок, ординати яких визначають механічні характеристики матеріалу: границю пропорціональності σ_пц, границю пружності σ_пр, границю текучості σ_т, границю міцності (тимчасовий опір) σ_в і розривне напруження σ_р.

Границя пропорціональності — напруження, яке визначає межу застосування закону Гука. Ділянка діаграми, розміщена нижче цієї точки, прямолінійна. Тангенс кута нахилу цієї ділянки до осі абсцис дорівнює модулю Юнга даного матеріалу .

Границі пружності відповідає напруження, при якому закон Гука вже не виконується, але залишкові деформації ще дуже малі (не перевищують 0,03%). На практиці границю пружності часто ототожнюють з границею пропорціональності.

Границя текучості — це напруження, при якому різко зростають деформації без прикладання додаткових сил. З появою текучості матеріалу на діаграмі з’являється горизонтальна ділянка — площадка текучості. Не всі пластичні матеріали мають чітко виражену площадку текучості: чим жорсткіший матеріал, тим ця площадка менша або зовсім відсутня.

Границя міцності (тимчасовий опір) являє собою напруження, що відповідає найбільшій силі. При досягненні матеріалом границі міцності в зразку появляється місцеве звуження, що називають шийкою. Поява шийки свідчить про початок руйнування зразка. При збільшенні шийки опір стержня зменшується і він руйнується при силі значно меншій, ніж максимальна.

Розривне напруження — напруження в момент розриву зразка.

Названі вище механічні характеристики матеріалу — величини умовні, оскільки при їх визначенні не враховувалась зміна площі поперечного перерізу зразка. Хоч ця зміна в межах закону Гука дуже мала, однак при появі шийки вона починає помітно зростати.

Якщо побудувати діаграму з врахуванням зміни площі поперечного перерізу, то вона називається істинною діаграмою розтягу. На мал. 2.21 така діаграма зображена штриховою лінією.

Величини σ_пц, σ_пр, σ_т, σ_в і σ_р це характеристики міцності матеріалу. Чим вищі ці характеристики, тим матеріал міцніший. Крім названих величин велике значення мають і характеристики пластичності, до яких можна віднести: відносне залишкове видовження при розриві, відносне зменшення площі перерізу в місці розриву, а також величину площадки текучості на діаграмі.

Відносне залишкове видовження при розриві обчислюється за формулою

,

де l, l₁ — довжина розрахункової частини стержня до випробування і після розриву відповідно.

Відносне зменшення площі перерізу в місці розриву дорівнює

.

Т ут S — площа перерізу недеформованого зразка, S₁ — площа перерізу в місці розриву.

Чим вищі значення σ і ψ, тим матеріал пластичніший.

Випробування на стиск проводиться на коротких зразках у вигляді кубика або циліндра. Для м’яких мало вуглецевих сталей діаграма стиску показана на мал. 2.22.

Характерною особливістю стиску є те, що величини σ_пц, σ_пр, σ_т приблизно такі ж, як і при розтягу. При збільшенні навантаження поза границею текучості відбувається різке розширення зразка внаслідок зростання пластичних деформацій (зразок перетворюється на тонкий диск). Роздавлювання зразка з появою тріщин спостерігається рідко (для пластичних матеріалів).

В зв’язку з тим, що крихкі матеріали (чавун сірий, камінь, бетон, цегла і інші) слабо чинять опір розтягу, а в практичних конструкціях сприймають лише стискуючі сили, то їх випробовують тільки на стиск. Діаграма напружень для таких матеріалів зображена на мал. 2.23. Ця діаграма має лише одну характерну точку σ_в, яка відповідає максимальній силі, при якій появляються тріщини руйнування. Відзначимо, що навіть при великих навантаженнях для крихких матеріалів не виконується закон Гука.

Кожен із конструкційних матеріалів має свою діаграму випробування на розтяг або стиск, вигляд якої залежить від типу матеріалу, його хімічного складу, механічної і термічної обробки. Основні механічні характеристики найбільш поширених матеріалів приводяться в довідниках.

Я кщо зразок з м’якої сталі навантажити до стану, вищого за границю текучості, і зняти навантаження (розвантажити), то діаграма розвантаження буде прямолінійною, паралельною ділянці, що відповідає дії закону Гука (мал. 2.24). це означає, що при випробуванні зразка аж до його розриву поряд з пластичною деформацією ε_пл має місце пружна деформація ε_пр.

Якщо через деякий час зразок повторно навантажити, то діаграма навантаження буде збігатися з діаграмою попереднього навантаження, при цьому границя текучості помітно збільшується, а поздовжнє видовження при розриві зменшується (матеріал стає більш жорстким). Таке явище називається „наклепом” матеріалу.

2.5. Практичний розрахунок на міцність при розтягу-стиску. Для забезпечення нормальної роботи елементів машин і споруд необхідно створити їм такі умови, які виключали б не тільки можливість руйнування, але й утворення залишкових деформацій, що могли б змінити розрахункову схему машин або споруди.

При розрахунках стержнів на міцність, жорсткість і стійкість ставиться вимога, щоб їх істинний напружено-деформований стан в умовах експлуатації не відповідав би небезпечному стану. Це досягається введенням коефіцієнта запасу, величина якого перш за все залежить від ступеня відповідності прийнятих допущень про розрахункову схему дійсним умовам роботи. Він повинен враховувати можливе відхилення експлуатаційних навантажень від розрахункових, неточність прийнятих методів розрахунку, неточність виготовлення деталей і інше.

Умови міцності вимагають, щоб напруження в перерізах стержня, які виникають внаслідок дії зовнішніх сил, не перевищували допустимих.

Допустимі напруження визначаються як небезпечні (що відповідають небезпечному стану стержня), поділені на коефіцієнт запасу k

, ,

де , — допустимі нормальні і дотичні напруження; σ_о, τ_о — небезпечні напруження.

Для пластичних матеріалів небезпечним напруженням є границя текучості σ_т, а для крихких матеріалів — границя міцності σ_в. Величини допустимих напружень для різних матеріалів в залежності від умов роботи регламентуються нормативами і приводяться в довідниках. Виходячи з вищесказаного, умову міцності стержня при розтягу-стиску можна записати у вигляді

. (2.8)

Вона дає змогу розв’язати такі інженерні задачі:

1. Проектний розрахунок (підбір перерізу стержня при відомих силах, що діють на нього).

2. Перевірочний розрахунок (визначення істинних напружень в стержні і порівняння їх з допустимими).

3. Визначення величини допустимого навантаження на стержень відомих розмірів.

Розв’язок першої задачі визначається формулою

, (2.9)

яка випливає з (2.8). Знаючи площу перерізу і його форму, можна визначити геометричні розміри.

Друга задача передбачає задання розмірів стержня і зовнішнього навантаження; потрібно визначити напруження в стержні (за формулою 2.1) і порівняти його з допустимим. Відхилення не повинне перевищувати 5%.

При розв’язку третьої задачі для бруса відомих розмірів визначається допустиме зусилля

, (2.10)

після чого методом перерізів визначається і відповідне допустиме зовнішнє навантаження.

Розглянемо приклад розрахунку на міцність з використанням формули (2.8).

Приклад 2. Визначити площі перерізів стальних елементів АВ і СВ кронштейна, зображеного на мал. 2.25, якщо Р = 50 кН, [σ] = 160 мПа.

Розв’язування. Вирізаємо вузол В, замінюючи дію стержнів внутрішніми силами , і запишемо умови рівноваги системи збіжних сил

Знак „-” вказує на те, що зусилля стискує. Використовуємо формулу (2.9) для кожного із стержнів

;

.

Тут враховано, що допустимі напруження на розтяг і стиск для сталі однакові.

У ряді випадків необхідні для розрахунку стержня внутрішні зусилля неможна знайти методом перерізів через те, що кількість умов статики, які можна записати для відсіченої частини стержня, недостатня. Задачі, в яких зусилля не можуть бути визначені з допомогою рівнянь статики, називаються статично невизначеними. При їх розв’язуванні складають додаткові умови деформування стержня, які називаються рівняннями сумісності деформацій.

У наступних розділах будуть розглядатися лише статично визначені задачі.