Зауваження. Розділ іі. Аналітична геометрія

Тема 6: Метод координат. Елементи векторної алгебри. Найпростіші задачі аналітичної геометрії.

Аналітичною геометрією називається розділ математики, в якому геометричні задачі розв’язуються алгебраїчними методами.

Основою аналітичної геометрії є метод координат, який увів французький математик Рене Декарт (1596-1650).

Метод координат.

Декартовою системою координат на прямій є числова вісь.

Числовою віссю називається пряма, на якій:

а) обрана початкова точка , по відношенню до якої визначається положення всіх інших точок прямої;

б) вказано (стрілкою) додатній напрямок відліку;

в) обрана одиниця довжини (масштаб) для обчислення відстані від початку координат до розглядуваної точки.

У побудованій системі координат кожній точці відповідає єдине дійсне число (координата точки), і навпаки, кожному дійсному числу відповідає єдина точка на числовій прямій.

Наприклад, точці відповідає число , точці відповідає число , а числу відповідає точка .

Це записують так: ; ; .

Таким чином, метод координат на прямій встановлює взаємно однозначну відповідність між множиною точок на числовій прямій і множиною дійсних чисел.

Декартовою системою координат на площині є дві взаємно перпендикулярні числові вісі зі спільним початком.

Перша вісь (звичайно горизонтальна) позначається і називається віссю абсцис, а друга (звичайно вертикальна) позначається і називається віссю ординат.

У побудованій системі координат кожній точці площини відповідає упорядкована пара чисел (координати точки), і навпаки, кожній парі дійсних чисел відповідає єдина точка на площині.

2	Наприклад, точці відповідає пара чисел , а парі чисел – точка . Це записують так: , .

Таким чином, метод координат на площині встановлює взаємно однозначну відповідність між множиною точок на координатній площині і множиною упорядкованих пар дійсних чисел.

Декартовою системою координат у просторі є три взаємно перпендикулярні числові вісі зі спільним початком і встановлює взаємнооднозначну відповідність між множиною точок координатного простору і множиною упорядкованих трійок дійсних чисел.

Третя вісь позначається і називається віссю аплікат.

M	Наприклад, точка зображена на рисунку. Побудувати точку по координатам можна так: спочатку позначити на площині точку , потім “прикласти” відрізок , перпендикулярно до площини .

Елементи векторної алгебри.

Величини бувають скалярні та векторні.

Величина називається скалярною, якщо вона повністю визначається своїм числовим значенням в обраній системі одиниць вимірювання.

Наприклад, довжина відрізка, температура, площа, час, об’єм, робота тощо.

Величина називається векторною, якщо вона визначається не тільки числовим значенням, але і напрямком.

Наприклад, швидкість, сила, прискорення.

Для характеристики таких величин уводять поняття вектора. Розділ математики, в якому вивчаються дії над векторами, називається векторною алгеброю. Векторна алгебра широко використовується у сучасній аналітичній геометрії.