Тема 3: Ранг матриці. Знаходження рангу матриці.

Розглянемо матрицю розміру .

.

Означення. Мінором -го порядку матриці називається визначник -го порядку, складений з елементів матриці, які розташовані на перетині деяких рядків і стовпців.

Наприклад:

,

, – мінори 1–го порядку. Очевидно, що мінорами 1–го порядку є елементи матриці.

– мінор 2–го порядку. (В мінорах матриці нижні індекси вказують номери рядків, а верхні – номери стовпців матриці, які використовуються для утворення даного мінора).

,

– мінори 3–го порядку

– мінор 4–го порядку, який містить нульовий рядок.

Приклад дозволяє зробити такий висновок: для ненульової матриці можливий порядок її мінорів – це натуральне число, яке задовольняє нерівність .

Означення. Рангом матриці називається максимальний порядок її відмінного від нуля мінора. Ранг нульової матриці дорівнює нулю.

Ранг матриці позначається і, очевидно, задовольняє нерівність .

У розглянутому прикладі у матриці є відмінний від нуля мінор 3–го порядку, а всі мінори 4-го порядку дорівнюють нулю (переконайтесь самостійно). За означенням, .

Приклад 1.

,

, а всі мінори 2–го порядку дорівнюють нулю (перевірте самостійно, враховуючи властивості визначників). Тому .

Приклад 2.

; ; .

. Отже, .

Таким чином, якщо , то це означає, що у даної матриці є мінор порядку , відмінний від нуля, а всі мінори більш високих порядків (якщо вони існують) дорівнюють нулю.

Приклад 3.

– одинична матриця -го порядку.

, тобто ранг одиничної матриці дорівнює її порядку.

Важливе зауваження: ранг діагональної, трикутної (верхньої або нижньої) матриці, діагональні елементи якої відмінні від нуля, дорівнює її порядку (тобто, кількості цих відмінних від нуля діагональних елементів).

Означення. Елементарними перетвореннями матриці називаються такі операції над матрицею:

1. Транспонування матриці.

2. Перестановка місцями паралельних рядів.

3. Викреслювання нульового ряду, а також усіх, окрім одного, із паралельних пропорційних рядів.

4. Множення ряду на число, відмінне від нуля.

5. Додавання до елементів ряду відповідних елементів паралельного ряду, помножених на довільне число.

Неважко переконатись, що справедлива наступна

Теорема. Елементарні перетворення не змінюють рангу матриці.

Означення. Матриці називаються еквівалентними, якщо вони мають однаковий ранг.

За допомогою елементарних перетворень довільну ненульову матрицю можна привести до еквівалентної їй трикутної матриці, діагональні елементи якої відмінні від нуля. На цьому базується метод знаходження рангу матриці.

Схема обчислення рангу матриці

Методом елементарних перетворень.

1. Перестановкою рядків або стовпців (при необхідності) вибираємо перший діагональний елемент матриці , який назвемо ключовим (головним, розв’язувальним).

2. У наступній матриці ключовий рядок переписується без змін, а всі елементи ключового стовпця замінюються нулями.

3. Усі інші елементи, які розташовані під ключовим рядком та праворуч ключового стовпця матриці, знаходяться за правилом „прямокутника”. А саме, якщо – ключовий елемент, то в новій матриці елемент знаходиться за формулою , яку можна зобразити

у вигляді „прямокутника”:

4. Здійснюється перехід до наступного кроку (вибираємо наступний ключовий діагональний елемент ).

Таким чином, за фіксовану кількість кроків матриця зводиться до трикутної (або до вигляду трапеції, яку відкиданням «зайвих» стовпців, замінюємо еквівалентною трикутною матрицею).

Приклад. Обчислити ранг матриці.

Розглянемо обчислювання елементів другої матриці за правилом „прямокутників”:

Викреслюємо третій стовпчик (оскільки він пропорційний першому) і переходимо до наступного кроку.

, оскільки ранг матриці не може перевищувати мінімального із кількості рядків та стовпців матриці. В результаті еквівалентних елементарних перетворень дістали трикутну матрицю 2–го порядку із відмінними від нуля діагональними елементами. Значить .