Взаємне розташування двох прямих. Умова паралельності та перпендикулярності прямих.

Кутом між двома прямими називається найменший кут, на який потрібно повернути проти годинникової стрілки одну пряму так, щоб вона співпала або стала паралельною іншій прямій.

		Як видно, , тоді . Якщо прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом:
, ,			, .

Кут між двома прямими можна також знаходити як кут між векторами нормалі і (або напрямними векторами і ) цих прямих. Отже:

Якщо прямі задані загальними рівняннями

, ,

то ,

і ; .

Якщо прямі задані у канонічному вигляді,

, ,

то ,

і ; .

Приклад.

Знайти кут між прямими: а) і .

б) і ; в) і .

Розв’язування.

Тема 8: Перетворення системи координат.

До перетворень системи координат відносяться паралельне перенесення та поворот.

1. Паралельне перенесення

Нехай на площині задана система координат . Зробимо перенесення координатних осей: , . При цьому початок нової системи координат: .

y	Розглянемо довільну точку , яка в системі має координати , а в – .

Перехід від “старої” до “нової” системи координат:

.

Перехід від “нової” до “старої” системи координат:

.

Приклад.

Рівняння деякої лінії має вигляд . Яким буде рівняння цієї ж лінії після переносу початку координат у точку .

Розв’язування.

2. Поворот координатних осей

Початок координат залишимо на своєму місці, а вісі повернемо на деякий кут .

Перехід від „нових” до „старих” координат точки : Перехід від „старих” до „нових” координат точки :

Тема 9: Криві іі порядку.

Розглянемо загальне рівняння ІІ степеня з двома змінними і :

, де . (9.1*)

Завжди можна підібрати кут , на який потрібно зробити поворот системи координат так, щоб у новій системі рівняння (9.1*) не містило добутку (тобто ). Тому далі розглядаємо рівняння

, де . (9.1)

Дослідимо три можливі випадки:

І. Еліптичний: (тобто коефіцієнти при і одного знака).

ІІ. Гіперболічний: (коефіцієнти при і різного знака).

ІІІ. Параболічний: (тільки одна із змінних входить до рівняння у другому степені).

І. Еліптичний випадок (). Виділяючи повні квадрати по обох змінних, рівняння (9.1) зводимо до вигляду:

(9.2)

Продемонструємо цей процес на конкретному прикладі:

а) згрупуємо змінні:

б) винесемо за квадратні дужки коефіцієнти при , :

в) доповнюємо до повних квадратів:

г) розкриємо (лише квадратні) дужки і приведемо до вигляду (9.2):

.

Повернемося до рівняння (9.2). Це рівняння може визначати на площині різні множини точок, тому розглянемо всі можливі випадки:

1. Якщо , і – одного знака, то діленням обох частин рівняння (9.2) на дістанемо:

або .

Позначимо , . Тоді рівняння (9.2) набуває вигляду:

– нормальне рівняння еліпса.

Можна показати, що дане рівняння визначає на площині:

а) у випадку – еліпс, витягнутий вздовж осі (див. рис.1):

y В1 M(x; y) a b А1 А2 a y0 y=y0 0' F1 F2 b c c B2 x0 x 0 x=x0 Рис.1

Параметри еліпса: центр – ; – велика вісь (або – велика піввісь); – мала вісь (або – мала піввісь); – фокуси, які лежать на великій осі і розташовані на відстані від центра ; ексцентриситет , який визначається як відношення міжфокусної відстані до великої осі і для еліпса ; – вершини еліпса.