Завдання для розв’язування.

Обчислити ранг матриці:

а) ;

б) ;

ТЕМА 4: Розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими за допомогою оберненої матриці та за правилом Крамера. Дослідження та розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими.

Розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими за допомогою оберненої матриці та за правилом Крамера.

Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) з невідомими:

(*).

Означення . Розв’язком СЛАР (*) називається упорядкована множина дійсних чисел , яка при підстановці у систему замість невідомих перетворює її в систему тотожностей (систему правильних числових рівностей).

Матричний метод

Позначимо:

, , .

Тут: – матриця коефіцієнтів при невідомих (основна матриця системи);

– матриця-стовпець невідомих;

– матриця-стовпець вільних членів (правих частин).

Тоді СЛАР (*) можна записати у вигляді матричного рівняння:

.

Якщо , то існує . Домножимо обидві частини матричного рівняння зліва на . Одержимо:

,

,

.

Отже, справедлива наступна

Теорема. Якщо визначник основної матриці СЛАР (*) відмінний від нуля , то система має єдиний розв’язок, який знаходиться як добуток оберненої до матриці на матрицю–стовпець вільних членів .

Приклад. Розв’язати за допомогою оберненої матриці СЛАР:

.

Розв’язування.

1. Позначимо:

– матриця коефіцієнтів при невідомих;

– матриця-стовпець невідомих;

– матриця-стовпець вільних членів.

2. Запишемо систему у вигляді матричного рівняння .

3. Обчислимо : система має єдиний розв’язок. Оскільки , то існує обернена матриця .

Знайдемо її:

Отже, .

Таким чином,

.

Відповідь: , .

Метод Крамера.

Означення . Основним визначником СЛАР (*) називається визначник матриці коефіцієнтів при невідомих .

Справедлива наступна

Теорема (правило Крамера). Якщо основний визначник СЛАР (*) , то система має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами:

; ; …; ,

де визначники отримуємо із заміною -го стовпця коефіцієнтів при невідомій на стовпець вільних членів.

Приклад. Розв’язати систему рівнянь за правилом Крамера.

.

Розв’язування.

, .

Оскільки , то система має єдиний розв’язок, що знаходиться за правилом Крамера:

, .

; .

Перевірка: .

Відповідь: .

Завдання для розв’язування.

Розв’язати системи рівнянь матричним методом та за правилом Крамера:

а) ;

б) ;

Дослідження та розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими.

Розглянемо систему лінійних рівнянь з невідомими (СЛАР):

(**)

Означення. Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок. У супротивному випадку система називається несумісною.

Позначимо:

; .

Тут – основна матриця системи, – розширена матриця системи.

Теорема Кронекера-Капеллі (критерій сумісності системи лінійних рівнянь). СЛАР (**) сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці:

.

Наслідок. Якщо у сумісної системи ( – кількість невідомих), то розв’язок єдиний і таку систему називають визначеною, а якщо , то система має безліч розв’язків (невизначена).