Тема 5: Лінійний векторний простір. Лінійно залежні та лінійно незалежні векторні системи, їх властивості. Базис. Розклад за базисом. Лінійний векторний простір.

Означення. -вимірним вектором називається впорядкований набір дійсних чисел і позначається

,

де - координати (компоненти) вектора.

Будь-який вектор можна інтерпретувати як матрицю-стовпець (або як матрицю-рядок), а операції множення на дійсні числа та сумування виконувати аналогічно введеним раніше операціям над матрицями, тобто покоординатно.

Означення. Множина елементів довільної природи називається лінійним простором над полем дійсних чисел , якщо разом із будь-якими елементами множини їх сума і добуток на довільне дійсне число також належать . При цьому для елементів множини та дійсних чисел повинні виконуватись аксіоми лінійного простору:

1) (комутативність);

2) (асоціативність);

3) (існування нейтрального (нульового) елемента);

4) (існує протилежний елемент);

5) ;

6) (змішана асоціативність);

7) (змішана дистрибутивність);

8) (змішана дистрибутивність).

Одним із прикладів лінійного простору є множина усіх -вимірних векторів, яка називається лінійним векторним простором.

Відмітимо, що з лінійними векторними просторами ми вже зустрічались у шкільному курсі геометрії.

Лінійно залежні та лінійно незалежні векторні системи, їх властивості.

Означення. Будь-яка підмножина лінійного векторного простору : називається векторною системою.

Означення. Вектор називається лінійною комбінацією (ЛК) векторів , а числа - коефіцієнтами ЛК.

Означення. Вектори називаються лінійно залежними (ЛЗ), якщо їх ЛК дорівнює нуль-вектору, причому хоча б один із коефіцієнтів ЛК відмінний від нуля, тобто

.

Означення. Вектори називаються лінійно незалежними (ЛНЗ), якщо їх ЛК дорівнює нуль-вектору тоді і тільки тоді, коли усі коефіцієнти ЛК дорівнюють нулю, тобто

.

Властивості лз векторних систем.

Теорема 1. Векторна система, яка містить нуль-вектор є ЛЗ.

Доведення.

Теорема 2. Векторна система, яка містить ЛЗ підсистему є ЛЗ.

Доведення.

Теорема (критерій ЛЗ). Векторна система ЛЗ тоді і тільки тоді, коли деякий її вектор виражається у вигляді ЛК інших векторів системи.

Доведення.Необхідність.

Достатність.

Для перевірки ЛЗ векторів потрібно скласти матрицю, стовпцями якої є координати цих векторів, і знайти її ранг . Якщо , то вектори ЛЗ; якщо ж , то вектори ЛНЗ.

Наприклад:

Означення. Максимальна кількість ЛНЗ векторів векторної системи називається її рангом, а вектори, які складають максимальну ЛНЗ підсистему – базисом векторної системи.

Властивості лнз векторних систем.

Теорема 1. Будь-яка підсистема ЛНЗ векторної системи є ЛНЗ.

Доведення.

Теорема (розклад за базисом). Будь-який вектор векторної системи можна розкласти за її базисом, причому однозначно.

Доведення .

Приклад. Дано вектори . Знайти базис і розкласти всі вектори за знайденим базисом.

Розв’язування.

Розглянемо лінійний векторний простір . Очевидно, що будь-яка векторна система із векторів буде ЛЗ. Тому базис (максимальну ЛНЗ систему) складатимуть довільних ЛНЗ векторів. Таких базисів, взагалі кажучи, безліч. Серед усіх базисів лінійного векторного простору виділяють так званий природний (ортонормований) базис, який складається із ортів:

.