Критерій монотонності, наслідок. Екстремум функції. Необхідна умова екстремума. Перша достатня умова екстремума. Дослідження функцій на монотонність та екстремуми.

Однією із характерних особливостей поведінки функції є її монотонність: зростання, неспадання, спадання, незростання. Розглянемо застосування методів диференціального числення для дослідження монотонності. Графічна ілюстрація (базуючись на геометричному сенсі похідної):

Теорема (критерій монотонності). Для того, щоб диференційовна на інтервалі функція була неспадною (незростаючою) на цьому інтервалі, необхідно і достатньо, щоб її похідна була невід’ємною (недодатною) на .

Доведення. Необхідність. Проведемо для неспадної функції. Виберемо довільні так, щоб точки . Оскільки функція неспадна, то , тому , а . Якщо ж довільні такі, що точки , то із неспадання функції випливає , тому , а . Для диференційовної функції існує границя за однією із теорем порівняння. Необхідність доведено.

Достатність. Виберемо на інтервалі довільні точки . На сегменті застосуємо формулу Лагранжа:

.

Так як , а за умовами теореми , то . Отже, для будь-яких . За означенням функція неспадна на інтервалі . Достатність доведено.

Наслідок. Із доведення достатності випливає наступне твердження (достатня умова строгої монотонності). Якщо на деякому інтервалі похідна ( ), то функція зростає (спадає) на цьому інтервалі.

Зауважимо, що знакосталість похідної не є необхідною умовою строгої монотонності. Наприклад, функція зростає на , але в точці її похідна дорівнює нулю.

Нехай функція визначена в точці та в деякому її околі.

Означення. Точка називається точкою максимума (мінімума) функції , якщо для всіх із околу точки виконується:

.

Означення. Точки максимума та мінімума називають точками екстремума і кажуть, що функція має екстремуми (локальні) у цих точках.

Графічна ілюстрація:

Означення. Точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує називають критичними (критичними точками першої похідної або критичними точками першого порядку). Точки, в яких похідна існує і дорівнює нулю, ще називають стаціонарними.

Теорема (необхідна умова екстремума). Якщо функція має в точці екстремум, то ця точка є критичною.

Наслідок. Якщо точка не є критичною, то функція в цій точці екстремума не має.

Висновок. Точки екстремума слід шукати лише серед критичних точок.

Але не будь-яка критична точка буде точкою екстремума (див. вище приклад функції ). Тому необхідні достатні умови.

Теорема (перша достатня умова екстремума). Якщо при переході аргументу через критичну точку похідна змінює знак, то ця критична точка є точкою екстремума. При цьому, якщо похідна змінює знак з плюса на мінус (з мінуса на плюс), то критична точка є точкою максимума (мінімума).

Доведення.

Попередні теореми дозволяють сформулювати наступну схему дослідження функції на монотонність та екстремуми:

1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти похідну та її критичні точки.

3. Критичними точками розбити область визначення на інтервали, кінцями яких є кінці області визначення та критичні точки.

4. Визначити знак похідної на цих інтервалах.

5. Зробити висновок про монотонність та екстремуми.

Відмітимо, що результати досліджень зручно оформляти у вигляді таблиці.

Приклад. Дослідити функцію на монотонність та екстремуми.

Розв’язування. 1. .

2. . Похідна визначена при всіх , тому серед критичних будуть лише точки, в яких похідна дорівнює нулю: .

3., 4.

на інтервалі ;

на інтервалі ;

на інтервалі .

5. Функція спадає на інтервалах та , а на інтервалі функція зростає. В точці екстремуму немає. Точка - точка мінімуму функції, причому .