- •Розділ I. Лінійна алгебра
- •§1. Матриці. Різновиди матриць. Дії над матрицями
- •Дії над матрицями
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§ 2. Визначники, їх властивості.
- •Властивості визначників
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§3. Обернена матриця
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4. Розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими за допомогою оберненої матриці та за правилом Крамера
- •Матричний метод
- •Метод Крамера
- •Завдання для самостійного розв’язування.
- •§5. Ранг матриці і його обчислення
- •Методом елементарних перетворень
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§6. Дослідження і розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими
- •Розв’язування систем m лінійних рівнянь з n невідомими методом Жордана-Гаусса
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Розділ іі. Аналітична геометрія
- •§1. Метод координат
- •§2. Елементи векторної алгебри
- •Основні означення
- •§3. Дії над векторами
- •Умова колінеарності
- •Скалярний добуток
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4. Найпростіші задачі аналітичної геометрії
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§5. Рівняння лінії
- •§6. Пряма лінія
- •Дослідження загального рівняння прямої
- •Рівняння прямої, що проходить через дану точку паралельно даному вектору (канонічне рівняння прямої)
- •Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки
- •Рівняння прямої у відрізках на осях
- •Відстань від точки до прямої
- •Кутовий коефіцієнт прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
- •Взаємне розташування двох прямих. Умова паралельності та перпендикулярності прямих
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§7. Перетворення системи координат
- •Паралельне перенесення
- •2. Поворот координатних осей
- •§8. Криві іі порядку
- •Характеристична властивість точок еліпса
- •Характеристична властивість точок м(х; у) гіперболи
- •Рівнобічна гіпербола
- •Характеристична властивість точок параболи (геометричне означення параболи).
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Відповіді:
Завдання для самостійного розв’язування
6.1. Знайти загальний і базисний розв’язки системи рівнянь методом Жордана-Гаусса:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) ;
ж) ; з) .
Відповіді:
6.1. а) Система несумісна.
б) ; базисний розв’язок .
в) ; базисний розв’язок .
г) Єдиний розв’язок: .
д) ; базисний розв’язок .
е) ; базисний розв’язок .
ж) ; базисний розв’язок .
з) Система несумісна.
Розділ іі. Аналітична геометрія
Аналітичною геометрією називається розділ математики, в якому геометричні задачі розв’язуються алгебраїчними методами.
Основою аналітичної геометрії є метод координат, який увів французький математик Рене Декарт (1596-1650).
§1. Метод координат
Декартовою системою координат на прямій є числова вісь.
Числовою віссю називається пряма, на якій:
а) обрана початкова точка , по відношенню до якої визначається положення всіх інших точок прямої;
б) вказано (стрілкою) додатній напрямок відліку;
в) обрана одиниця довжини (масштаб) для обчислення відстані від початку координат до розглядуваної точки.
У побудованій системі координат кожній точці відповідає єдине дійсне число (координата точки), і навпаки, кожному дійсному числу відповідає єдина точка на числовій прямій.
Наприклад, точці відповідає число , точці відповідає число , а числу відповідає точка .
Це записують так: ; ; .
Таким чином, метод координат на прямій встановлює взаємно однозначну відповідність між множиною точок на числовій прямій і множиною дійсних чисел.
Декартовою системою координат на площині є дві взаємно перпендикулярні числові вісі зі спільним початком.
Перша вісь (звичайно горизонтальна) позначається і називається віссю абсцис, а друга (звичайно вертикальна) позначається і називається віссю ординат.
У побудованій системі координат кожній точці площини відповідає упорядкована пара чисел (координати точки), і навпаки, кожній парі дійсних чисел відповідає єдина точка на площині.
2 |
Наприклад, точці відповідає пара чисел , а парі чисел – точка . Це записують так: , .
|
Таким чином, метод координат на площині встановлює взаємно однозначну відповідність між множиною точок на координатній площині і множиною упорядкованих пар дійсних чисел.
Декартовою системою координат у просторі є три взаємно перпендикулярні числові вісі зі спільним початком і встановлює взаємнооднозначну відповідність між множиною точок координатного простору і множиною упорядкованих трійок дійсних чисел.
Третя вісь позначається і називається віссю аплікат.
M |
Наприклад, точка зображена на рисунку. Побудувати точку по координатам можна так: спочатку позначити на площині точку , потім “прикласти” відрізок , перпендикулярно до площини . |