- •Розділ I. Лінійна алгебра
- •§1. Матриці. Різновиди матриць. Дії над матрицями
- •Дії над матрицями
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§ 2. Визначники, їх властивості.
- •Властивості визначників
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§3. Обернена матриця
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4. Розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими за допомогою оберненої матриці та за правилом Крамера
- •Матричний метод
- •Метод Крамера
- •Завдання для самостійного розв’язування.
- •§5. Ранг матриці і його обчислення
- •Методом елементарних перетворень
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§6. Дослідження і розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими
- •Розв’язування систем m лінійних рівнянь з n невідомими методом Жордана-Гаусса
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Розділ іі. Аналітична геометрія
- •§1. Метод координат
- •§2. Елементи векторної алгебри
- •Основні означення
- •§3. Дії над векторами
- •Умова колінеарності
- •Скалярний добуток
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4. Найпростіші задачі аналітичної геометрії
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§5. Рівняння лінії
- •§6. Пряма лінія
- •Дослідження загального рівняння прямої
- •Рівняння прямої, що проходить через дану точку паралельно даному вектору (канонічне рівняння прямої)
- •Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки
- •Рівняння прямої у відрізках на осях
- •Відстань від точки до прямої
- •Кутовий коефіцієнт прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
- •Взаємне розташування двох прямих. Умова паралельності та перпендикулярності прямих
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§7. Перетворення системи координат
- •Паралельне перенесення
- •2. Поворот координатних осей
- •§8. Криві іі порядку
- •Характеристична властивість точок еліпса
- •Характеристична властивість точок м(х; у) гіперболи
- •Рівнобічна гіпербола
- •Характеристична властивість точок параболи (геометричне означення параболи).
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Відповіді:
§6. Пряма лінія
Знайдемо рівняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора.
y
x |
Нехай – задана точка. – заданий вектор. Оберемо на прямій довільну точку з поточними координатами та . Розглянемо вектор =. |
За умовою .
Отже, маємо:
(1)
– рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно до вектора .
Якщо зробити перетворення рівняння (1)
і позначити , то отримуємо:
, де (2)
-
загальне рівняння прямої на площині.
Приклад 1. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно до вектора .
Розв’язування. За формулою (1) отримуємо: ,
або – загальне рівняння прямої.
Приклад 2. Скласти рівняння висоти трикутника, яка проходить через точку , якщо відомі вершини трикутника: , , .
Розв’язування. Знайдемо вектор , який перпендикулярний до шуканої висоти: .
Скористаємось рівнянням (1). Тоді маємо: ,
; – шукане рівняння.
Дослідження загального рівняння прямої
, .
Розглянемо положення прямої на площині залежно від коефіцієнтів рівняння.
І. .
а) ; . Отримуємо: , звідки – пряма проходить через початок координат.
|
у L
х |
б) ; . Отримуємо: , звідки – вісь . |
y
0 x |
в) ; . Отримуємо: , звідки – вісь . |
y
0 х |
II.. |
|
а) ; . Отримуємо: , звідки – пряма паралельна осі . |
у L
0 х |
б) ; . Отримуємо: , звідки – пряма паралельна осі . |
у L
0 х |
Із дослідження загального рівняння прямої випливає така
Теорема. Будь-яке рівняння першого степеня з двома змінними (2) визначає деяку пряму на площині і навпаки, будь-яка пряма на площині визначається деяким рівнянням (2).