- •Розділ I. Лінійна алгебра
- •§1. Матриці. Різновиди матриць. Дії над матрицями
- •Дії над матрицями
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§ 2. Визначники, їх властивості.
- •Властивості визначників
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§3. Обернена матриця
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4. Розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими за допомогою оберненої матриці та за правилом Крамера
- •Матричний метод
- •Метод Крамера
- •Завдання для самостійного розв’язування.
- •§5. Ранг матриці і його обчислення
- •Методом елементарних перетворень
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§6. Дослідження і розв’язування систем лінійних рівнянь з невідомими
- •Розв’язування систем m лінійних рівнянь з n невідомими методом Жордана-Гаусса
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Розділ іі. Аналітична геометрія
- •§1. Метод координат
- •§2. Елементи векторної алгебри
- •Основні означення
- •§3. Дії над векторами
- •Умова колінеарності
- •Скалярний добуток
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§4. Найпростіші задачі аналітичної геометрії
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§5. Рівняння лінії
- •§6. Пряма лінія
- •Дослідження загального рівняння прямої
- •Рівняння прямої, що проходить через дану точку паралельно даному вектору (канонічне рівняння прямої)
- •Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки
- •Рівняння прямої у відрізках на осях
- •Відстань від точки до прямої
- •Кутовий коефіцієнт прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
- •Взаємне розташування двох прямих. Умова паралельності та перпендикулярності прямих
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •§7. Перетворення системи координат
- •Паралельне перенесення
- •2. Поворот координатних осей
- •§8. Криві іі порядку
- •Характеристична властивість точок еліпса
- •Характеристична властивість точок м(х; у) гіперболи
- •Рівнобічна гіпербола
- •Характеристична властивість точок параболи (геометричне означення параболи).
- •Завдання для самостійного розв’язування
- •Відповіді:
Завдання для самостійного розв’язування
-
Дано матриці:
; ; ;
; ; ; .
Знайти матриці, якщо вони існують:
а) ; |
г) ; |
ж) ; |
к) ; |
н) ; |
б) ; |
д) ; |
з) ; |
л) ; |
о) . |
в) ; |
е) ; |
и) ; |
м) ; |
п) . |
Відповіді:
1.1.а); б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) не існує;
и) ; к) не існує; л) ; п)
м) ; н) ; о) .
§ 2. Визначники, їх властивості.
Нехай – квадратна матриця -го порядку.
Означення. Визначником квадратної матриці -го порядку (або просто визначником -го порядку) називається число, яке обчислюється за певним правилом, і позначається:
.
Так, наприклад, визначник 1–го порядку: ,
Тобто, визначник квадратної матриці 1–го порядку дорівнює елементу матриці (визначника).
Наприклад: , .
Для знаходження правила обчислення визначників вищих порядків уведемо поняття мінора та алгебраїчного доповнення елемента визначника.
Нехай – визначник 2–го порядку.
Означення. Мінором елемента визначника називається визначник, який отримується із викреслюванням (вилученням) -го рядка та -го стовпця.
Означення. Алгебраїчним доповненням елемента визначника називається його мінор, взятий зі знаком „+” або „–”:
.
Для визначника 2–го порядку:
;;
; .
Теорема Лапласа (про розклад визначника). Визначник дорівнює сумі добутків елементів деякого одного рядка (або деякого одного стовпця) визначника на відповідні їм алгебраїчні доповнення.
Так, для визначника 2–го порядку, за теоремою Лапласа:
(розклад за 1–им рядком) = .
Відзначимо, що теорема дозволяє звести обчислення визначника 2–го порядку до знаходження визначників 1–го порядку (в загальному випадку, обчислення визначника -го порядку зводиться до обчислення визначників -го порядку).
Зауваження. На практиці визначник 2–го порядку зручніше обчислювати за таким правилом: визначник дорівнює добутку елементів головної діагоналі мінус добуток елементів побічної діагоналі.
Наприклад:
.
Нехай - визначник 3–го порядку.
За теоремою Лапласа запишемо розклад визначника, наприклад, за елементами 1–го сповпця:
.
Зауваження. На практиці визначник 3–го порядку зручніше знаходити за так званим „правилом Саріуса”:
-
припишемо під визначником 1–ий та 2–ий рядки:
∆
+ +
|
–
–
|
+
–
2) зі знаком „+” беремо добутки елементів головної діагоналі та трійок елементів, паралельних цій діагоналі; зі знаком „–” беремо добутки елементів побічної діагоналі та трійок елементів, паралельних цій діагоналі.
Н
+
–
+ + |
– – |
|
|
|
Зауваження. Для визначників 4-uj та більш високих порядків немає зручних правил для їх обчислення, тому доводиться користуватись теоремою Лапласа. При цьому, очевидно, для скорочення обчислень краще розкладати визначник за рядком або стовпцем, у яких є нульові елементи.